реши задание 4.34

Задача 4.34: Упростить выражение [log_a b · (log_b a − 1 + log_a b)] / [1 + (log_a b)^3].

Пусть x = log_a b. Тогда log_b a = 1/log_a b = 1/x.

1. Перепишем числитель: log_a b · (log_b a − 1 + log_a b) = x · (1/x − 1 + x) = 1 + x^2 − x = x^2 − x + 1.

2. Деноминатор: 1 + (log_a b)^3 = 1 + x^3.

3. Воспользуемся факторизацией x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 − x + 1). Тогда выражение становится: (x^2 − x + 1) / [(x + 1)(x^2 − x + 1)].

Так как x^2 − x + 1 ≠ 0 для любых реальных x, можно сократить на этот множитель: = 1 / (x + 1) = 1 / (1 + log_a b).

Ответ: 1 / (1 + log_a b).

Дополнительная проверка подскажет верность: возьмём пример a = 2, b = 4 → log_a b = 2; оригинал даёт (2·(1/2 − 1 + 2)) / (1 + 8) = (2·1.5)/9 = 3/9 = 1/3, а упрощённое 1/(1+2) = 1/3. совпадает.