используя выделения квадрата двучлена, докажите неравенство : x²-6x+15>0

Задача: доказать неравенство x^2 - 6x + 15 > 0, используя выделение квадрата двучлена.

Пошаговое решение (метод Completing the Square):

1. Приведем выражение к квадрату двучлена. x^2 - 6x + 15 = (x^2 - 6x + 9) + 6 = (x - 3)^2 + 6. Здесь мы добавили и вычли 9 внутри квадрата: (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9, а 9 + 6 = 15.

2. Анализ квадрата и суммы. Для любого реального x имеет место (x - 3)^2 ≥ 0. Тогда (x - 3)^2 + 6 ≥ 0 + 6 = 6.

3. Вывод. Поскольку (x - 3)^2 ≥ 0, получаем x^2 - 6x + 15 = (x - 3)^2 + 6 ≥ 6 > 0 для любого x. Следовательно, неравенство x^2 - 6x + 15 > 0 верно для всех действительных x. Дополнительно можно отметить, что минимальное значение функции равно 6 и достигается при x = 3.

Итого: неравенство истинно на всей числовой оси.