5. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены па-раллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках A_{1} , B_{1} и M_{1} . Найдите длину отрезка M*M_{1} если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: 1) A*A_{1} = 5M B*B_{1} = 7M ; 2) АА₁ = 3,6 дм, B*B_{1} = 4, 8pi*M 3) A*A_{1} = 8, 3CM B*B_{1} = 4, 1 см; 4) A*A_{1} = a B*B_{1} = b .
6. Решите задачу 5, если отрезок АВ пересекает плоскость.
на каждый пример сделать ответ
Ключевая идея
Через концы отрезка AB и его середину M проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость P в точках A1, B1, M1. Пусть направление этих прямых задано вектором v = (p, q, r) с r ≠ 0, и пусть плоскость P задаётся как z = 0. Пусть координаты A = (xA, yA, zA), B = (xB, yB, zB), M = ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2, zM), где zM = (zA + zB)/2.
Тогда точки пересечения имеют параметры tA = -zA / r, tB = -zB / r, tM = -zM / r, и длины отрезков на линиях до плоскости:
AA1 = |tA| · ||v||, BB1 = |tB| · ||v||, MM1 = |tM| · ||v||.
Обозначим k = ||v|| / |r|. Тогда:
AA1 = k |zA|, BB1 = k |zB|, MM1 = k |zM|, где zM = (zA + zB)/2.
Два случая:
- Если AB не пересекает плоскость (zA и zB имеют один и тот же знак), то zM = (zA + zB)/2 имеет тот же знак и
MM1 = k(|zA| + |zB|)/2 = (AA1 + BB1)/2.
- Если AB пересекает плоскость (zA и zB противоположны по знаку), то |zM| = ||zA| − |zB||/2 и
MM1 = |AA1 − BB1|/2.
Ответы к задаче 5 (когда AB не пересекает плоскость)
1) AA1 = 5 м, BB1 = 7 м → MM1 = (5 + 7) / 2 = 6 м.
2) AA1 = 3,6 дм = 0,36 м, BB1 = 4,8 м → MM1 = (0,36 + 4,8) / 2 = 2,58 м.
(Если удобнее в других единицах: это 25,8 дм или 258 см.)
3) AA1 = 8,3 см, BB1 = 4,1 см → MM1 = (8,3 + 4,1) / 2 = 6,2 см.
4) AA1 = a, BB1 = b → MM1 = (a + b) / 2 (в тех же единицах, что и a и b).
Ответы к задаче 6 (когда AB пересекает плоскость)
1) AA1 = 5 м, BB1 = 7 м → MM1 = |5 − 7| / 2 = 1 м.
2) AA1 = 3,6 дм = 0,36 м, BB1 = 4,8 м → MM1 = |0,36 − 4,8| / 2 = 2,22 м.
(Это 22,2 дм или 222 см.)
3) AA1 = 8,3 см, BB1 = 4,1 см → MM1 = |8,3 − 4,1| / 2 = 2,1 см.
4) AA1 = a, BB1 = b → MM1 = |a − b| / 2 (в тех же единицах, что и a и b).
Кратко:
- Если AB не пересекает плоскость: MM1 = (AA1 + BB1) / 2.
- Если AB пересекает плоскость: MM1 = |AA1 − BB1| / 2.
Если нужно, могу привести решения в конкретной единице для каждого подпункта и расписать дополнительные пояснения к иллюстративным чертежам.
