На средней линии трапеции ABCD с основаниями АD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции.

Решение.

Обозначим высоту трапеции h — расстояние между основаниями AD и BC, так что площадь трапеции S_trap = (AD + BC) · h / 2.

На средней линии MN трапеции выбираем произвольную точку E. Свойство средней линии: она параллельна основаниям и проходится через середины боковых отрезков AB и CD, поэтому её уравнение по высоте соответствует середине расстояния между основаниями. Следовательно, любая точка E на средней линии имеет расстояние до линии AD равное h/2, и также расстояние до линии BC равно h/2.

Теперь вычислим площади треугольников AED и BEC:

• треугольник AED имеет основание AD и высоту dist(E, AD) = h/2, поэтому S(AED) = (1/2) · AD · (h/2) = AD · h / 4;
• треугольник BEC имеет основание BC и высоту dist(E, BC) = h/2, поэтому S(BEC) = (1/2) · BC · (h/2) = BC · h / 4.

Сложим: S(AED) + S(BEC) = AD · h / 4 + BC · h / 4 = (AD + BC) · h / 4.

Но половина площади трапеции равна: S_trap / 2 = [ (AD + BC) · h / 2 ] / 2 = (AD + BC) · h / 4.

Следовательно, S(AED) + S(BEC) = S_trap / 2. Доказано.