Найдите наименьшее значение выражения (5y-1)*(5y+1) + 6x*(6x-10y)

Задача: Найти наименьшее значение выражения (5y−1)(5y+1) + 6x(6x−10y).

Пошаговое решение:

1. Преобразуем первую часть:

• (5y − 1)(5y + 1) = (5y)^2 − 1 = 25y^2 − 1.

2. Преобразуем вторую часть:

• 6x(6x − 10y) = 36x^2 − 60xy.

3. Сложим части:

• Е = 25y^2 − 1 + 36x^2 − 60xy
• Е = 36x^2 − 60xy + 25y^2 − 1.

4. Заметим квадрат полного выражения:

• (6x − 5y)^2 = 36x^2 − 60xy + 25y^2.
• Поэтому Е = (6x − 5y)^2 − 1.

5. Минимум:

• Квадрат любой величины неотрицателен, поэтому (6x − 5y)^2 ≥ 0.
• Следовательно, Е ≥ −1, и достигнуто минимальное значение −1, когда 6x − 5y = 0.
• Уравнение 6x − 5y = 0 даёт зависимость y = (6/5)x. Любые пары (x, y), удовлетворяющие этому соотношению, дают Е = −1.

Дополнительная примечание:

• Если нужно целые числа, то можно взять x = 5t, y = 6t (t — любая целая величина). Например, x = 5, y = 6 даёт Е = −1.

Ответ: наименьшее значение выражения равно −1, достигается когда 6x − 5y = 0 (то есть y = 6x/5).