) В прямоугольном треугольнике DBC ( ∟C = 90 ) провели высоту СК. Найти угол ВСК, если DB = 14 см, ВС = 7 см.

Задача: Прямоугольный треугольник DBC (∠C = 90°) с высотой CK к гипотенузе DB. Даны DB = 14 см и BC = 7 см. Найти ∠BCK. Пошаговое решение 1) Найдем оставшуюся сторону CD с помощью теоремы Пифагора. - c = DB = 14, a = BC = 7, b = CD. - b^2 = c^2 − a^2 = 14^2 − 7^2 = 196 − 49 = 147. - CD = b = √147 = 7√3 см. 2) Раздел гипотенузы противолежащими отрезками KB и KD образуется изSimilar triangles (ножки высоты к гипотенузе). - Поскольку CK — высота к гипотенузе, точки B, K, D лежат на одной прямой DB, и триугольники CKB, CKD и CBD взаимно подобны. - Отсюда: - KB = a^2 / c = BC^2 / DB = 7^2 / 14 = 49 / 14 = 3.5 см. - KD = b^2 / c = CD^2 / DB = (7√3)^2 / 14 = 147 / 14 = 10.5 см. (Проверка: KB + KD = 3.5 + 10.5 = 14 см — всё верно.) 3) Найдем высоту CK. - По формуле высоты в таком треугольнике h = (a·b)/c = (7 · 7√3) / 14 = 7√3 / 2 ≈ 6.062 см. - Также можно заметить, что h^2 = KB · KD = 3.5 · 10.5 = 36.75, что даёт h ≈ 6.062 см, совпадает. 4) Теперь найдём нужный угол ∠BCK. - В треугольнике CKB угол при K — прямой, поэтому гипотенуза треугольника CKB — это сторона CB длиной 7 см. - Тангенс угла ∠BCK равен отношению противолежащей стороны KB к одной из катетов CK (для угла в точке C противолежащая сторона — KB, прилежащая — CK): tan(∠BCK) = KB / CK = (a^2/c) / (ab/c) = a / b = BC / CD. - Подставим найденные значения: a = 7, b = 7√3 → tan(∠BCK) = 7 / (7√3) = 1/√3. - Значит ∠BCK = arctan(1/√3) = 30°. Ответ: ∠BCK = 30°.