В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре A1D1, причем A1M : MD1 = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани:…

Решение в координатах (контрольная схема: куб со стороной 1)

1. Заданная кубическая конфигурация

• Пусть основание ABCD лежит в плоскости z = 0: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0).
• Верхняя грань: A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1).

2. Точка N -diagonали грани ABCD пересекаются в центре квадрата ABCD. N = середина квадрата: N(1/2, 1/2, 0).

3. Точка M на ребре A1D1 с отношением A1M : MD1 = 1:4

• Вектор A1D1 = D1 − A1 = (0,1,0).
• Длина ребра A1D1 ≡ 1, поэтому A1M = 1/5 от всей длины.
• M = A1 + (1/5)(A1D1) = (0,0,1) + (0,1/5,0) = (0, 1/5, 1).

4. Вектор прямой MN v = N − M = (1/2 − 0, 1/2 − 1/5, 0 − 1) = (1/2, 3/10, −1). Удобно умножить на 10, чтобы избавиться от дробей: v ∼ (5, 3, −10).

5. Формула для синуса угла между прямой и плоскостью sin(angle(line, plane)) = |v · n| / (|v| |n|), где n — нормаль к плоскости, v — направление прямой.

Теперь посчитаем для каждой плоскости.

a) Плоскость ABCD (задана нормалью n = (0,0,1))

• v · n = (5,3,−10) · (0,0,1) = −10, модуль 10.
• |v| = √(5^2 + 3^2 + (−10)^2) = √(25 + 9 + 100) = √134.
• |n| = 1.
• sin(angle) = 10/√134 = √(50/67).

b) Плоскость DD1C1C, это плоскость y = 1 (нормаль n = (0,1,0))

• v · n = (5,3,−10) · (0,1,0) = 3.
• sin(angle) = 3/√134.

c) Плоскость AA1D1D, это плоскость x = 0 (нормаль n = (1,0,0))

• v · n = (5,3,−10) · (1,0,0) = 5.
• sin(angle) = 5/√134.

Итоговые результаты:

• a) sin угла MN с плоскостью ABCD: 10/√134 = √(50/67).
• b) sin угла MN с плоскостью DD1C1C: 3/√134.
• в) sin угла MN с плоскостью AA1D1D: 5/√134.

Замечания:

• Все значения синуса рассчитаны по формуле sin(angle) = |v · n| / (|v| |n|), где v — направляющий вектор MN, n — нормаль к соответствующей плоскости.
• Выражение не зависит от величины стороны куба (при масштабировании вектор MN и нормаль масштабируются одинаково, отношение сохраняется).