16x-25y/4√x-5√y

Задача: (16x - 25y) / (4√x - 5√y)

Пояснение и решение по шагам (для понятия в 9-м классе):

1. Заметим разность квадратов

• 16x = (4√x)², 25y = (5√y)².
• Поэтому числитель можно записать как a² - b², где a = 4√x, b = 5√y.
• a² - b² = (a - b)(a + b).

2. Применим к выражению

• (16x - 25y) = (4√x - 5√y)(4√x + 5√y).
• Значит: [(4√x - 5√y)(4√x + 5√y)] / (4√x - 5√y) = 4√x + 5√y, при условии, что делитель не равен нулю.

3. Условия области определения

• Чтобы корни были определены в действительных числах: x ≥ 0 и y ≥ 0.
• Также требуется 4√x - 5√y ≠ 0, иначе деление на ноль. Это эквивалентно √x ≠ (5/4)√y, или x ≠ (25/16) y.

4. Итог

• Окончательно упрощённое выражение: 4√x + 5√y.
• При этом нужно помнить про ограничения: x ≥ 0, y ≥ 0 и x ≠ (25/16) y (то есть оригинал не должен переходить в неопределённость).

Проверка (пример): Пусть x = 4, y = 4. Тогда √x = √y = 2. Исходное выражение: (16·4 - 25·4) / (4·2 - 5·2) = (64 - 100) / (8 - 10) = (-36)/(-2) = 18. Справедливо и для упрощённого варианта: 4√x + 5√y = 4·2 + 5·2 = 8 + 10 = 18.