Реши

Задача 675. Условие: стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Доказать, что центры этих окружностей лежат на прямой OA. Решение по шагам. - Пусть l1 и l2 — стороны угла с вершиной O. Пусть Γ1 и Γ2 — две окружности, каждая из которых касаются и l1, и l2 (т. е. обе окружности вписаны в угол). Пусть t — общая касательная к этим окружностям в точке A (то есть t касается и Γ1, и Γ2 в точке A). - Свойство: центр любой окружности, касающейся одной и той же пары прямых l1 и l2 (то есть касающейся обоих сторон угла), лежит на бисектрисе угла. Обозначим эту бисектрису как b. Следовательно C1 ∈ b и C2 ∈ b, где C1 и C2 — центры Γ1 и Γ2. - Так как t — касательная к Γ1 и Γ2 в точке A, радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательной: C1A ⟂ t и C2A ⟂ t. Следовательно, все три точки C1, A, C2 лежат на одной прямой, перпендикулярной t (обозначим эту прямую как m). - Имеем две факта: C1 и C2 лежат на бисектрисе b, и при этом C1, A, C2 лежат на одной прямой m. Значит, прямые b и m совпадают. Поэтому A лежит на бисектрисе угла, т.е. A ∈ b. - Поскольку b — бисектриса ∠(l1Ol2), а O — её вершина, прямая b совпадает с линией OA. Следовательно центры Γ1 и Γ2 лежат на одной прямой OA. Вывод: центры двух окружностей лежат на прямой OA.