В параллелограмме ABCD высота BH = 12 см проведена к стороне AD, диагонали AC = 15 см, BD = 13 см. Найдите площадь параллелограмма, если AH < AD

Разберём задачу пошагово.

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• BH является высотой к стороне AD, BH = 12 см.
• Диагонали AC = 15 см, BD = 13 см.
• AH < AD (скажу ниже зачем это важно).

Поставим координаты:

• Пусть A = (0, 0), а D = (a, 0), тогда AD = a.
• Высота BH опускается на AD из B, значит BH перпендикулярна AD и имеет длину 12. Следовательно, координаты точки B можно записать как B = (x, 12), где AH = x (то есть расстояние по оси x от A до проекции H равно AH = x). Условие AH < AD означает 0 < x < a.

Тогда C = B + D = (a + x, 12).

Используем длины диагоналей:

• AC^2 = (a + x)^2 + 12^2 = 15^2 = 225 → (a + x)^2 = 81 → a + x = 9 (поскольку a > 0 и x > 0).
• BD^2 = (a - x)^2 + 12^2 = 13^2 = 169 → (a - x)^2 = 25 → a - x = 5 или a - x = -5. Так как AH < AD, то a > x, следовательно a - x положительно и равняется 5.

Систему решений:

• a + x = 9
• a - x = 5

Сложим: 2a = 14 → a = 7. Значит AH = x = 9 - a = 2.

Площадь параллелограмма:

• Площадь S равна основанию AD умножить высоту к нему: S = AD · BH = a · 12 = 7 · 12 = 84 кв.см.

Проверка:

• AC: (a + x)^2 + 12^2 = (7 + 2)^2 + 144 = 81 + 144 = 225 → AC = 15.
• BD: (a - x)^2 + 12^2 = (7 - 2)^2 + 144 = 25 + 144 = 169 → BD = 13.
• AH = 2 < AD = 7, условие выполняется.

Ответ: площадь параллелограмма равна 84 см².