В параллелограмме ABCD со сторонами AB = 4 и ВС = 3 и диагональю АС = 6 найдите длину вектора AỞ+ CB.

Пояснение и решение с пошаговыми выводами.

Обозначения и ключевые факты:

• Пусть AB = u и AD = w. Тогда |u| = 4, |w| = 3.
• Диагональ AC = AB + AD = u + w, и ее длина дана как |AC| = 6.
• Точка O — пересечение диагоналей, следовательно AO = OC = (1/2)AC.
• Вектор CB = B − C. Так как C = A + u + w и B = A + u, получаем CB = (A+u) − (A+u+w) = −w.

Теперь найдем AO + CB:

• AO = (1/2)(u + w).
• CB = −w.
• Поэтому AO + CB = (1/2)(u + w) − w = (1/2)(u − w).

Длина этого вектора:

• |AO + CB| = (1/2)|u − w|.
• Найдем |u − w| через известные величины: |u − w|^2 = |u|^2 + |w|^2 − 2u·w.
• Из условия |u + w| = 6 получаем: |u + w|^2 = |u|^2 + |w|^2 + 2u·w = 36. Подстановкой |u|^2 = 16 и |w|^2 = 9 получаем: 36 = 25 + 2u·w ⇒ u·w = 11/2 = 5.5.
• Тогда |u − w|^2 = 16 + 9 − 2·5.5 = 25 − 11 = 14.
• Следовательно, |u − w| = sqrt(14).

Итог: |AO + CB| = (1/2) sqrt(14) = sqrt(14)/2 ≈ 1.87.