F(x)=|x²+2|x|-8|

Задача: f(x) = | x^2 + 2|x| - 8 |. Делаем подробное разбор по шагам. 1) Приведение к более удобному виду - Внутри внешнего модуля встречаем выражение g(x) = x^2 + 2|x| - 8. - Заметим, что x^2 = (|x|)^2, поэтому вводим u = |x| ≥ 0. Тогда g(x) = u^2 + 2u - 8. - Следовательно, f(x) = | g(x) | = | u^2 + 2u - 8 |, где u = |x|. 2) Анализ знака выражения под модулем - Разложим квадратичную форму: u^2 + 2u - 8 = (u + 4)(u - 2). - Корни уравнения: u = 2 и u = -4. В диапазоне u ≥ 0 нас интересует только u = 2. - Знак выражения по u: - для 0 ≤ u < 2: u^2 + 2u - 8 < 0; - для u ≥ 2: u^2 + 2u - 8 ≥ 0. - Значит: - Если |x| < 2, f(x) = -(u^2 + 2u - 8) = -u^2 - 2u + 8. - Если |x| ≥ 2, f(x) = u^2 + 2u - 8. 3) Приведение к ответам в терминах x - Если |x| < 2 (то есть -2 < x < 2): f(x) = -x^2 - 2|x| + 8. - Если |x| ≥ 2 (то есть x ≤ -2 или x ≥ 2): f(x) = x^2 + 2|x| - 8. Дополнительно разложим по интервалам без abs внутри: - x ≤ -2: |x| = -x → f(x) = x^2 - 2x - 8. - -2 ≤ x ≤ 0: |x| = -x → f(x) = -x^2 + 2x + 8. - 0 ≤ x ≤ 2: |x| = x → f(x) = -x^2 - 2x + 8. - x ≥ 2: |x| = x → f(x) = x^2 + 2x - 8. 4) Ключевые точки и свойства - Значение нуля: f(x) = 0 тогда, когда внутреннее выражение равно 0, т.е. x^2 + 2|x| - 8 = 0. Решаем через u = |x|: u^2 + 2u - 8 = 0 → u = 2 или u = -4 (отрицательное не удовлетворяет u ≥ 0). Значит, zeros при |x| = 2 → x = ±2. - Минимум и диапазон: внешняя абсолютная величина не может быть отрицательной, минимум f = 0 достигается при x = ±2. При больших |x| функция растет как квадратичная, следовательно диапазон f(x) = [0, ∞). - Функция четная (симметрична относительно оси y): f(-x) = f(x). 5) Краткие выводы - Функция задана разбиением на четыре части: - x ≤ -2: f(x) = x^2 - 2x - 8 - -2 ≤ x ≤ 0: f(x) = -x^2 + 2x + 8 - 0 ≤ x ≤ 2: f(x) = -x^2 - 2x + 8 - x ≥ 2: f(x) = x^2 + 2x - 8 - Нули: x = ±2. - Область значений (диапазон): [0, ∞). - Функция симметрична относительно оси y; на графике будут «острие» участки в точках x = -2, 0, 2 (к системе переходов). Если нужно, могу нарисовать схематический график или показать значения в конкретных точках.