Реши вопросы

Ниже подробные ответы на контрольные вопросы. 1) Определение и геометрическая иллюстрация комплексного числа - Определение: комплексное число имеет вид z = x + i y, где x и y — вещественные числа, a i — мнимая единица (i^2 = -1). - Геометрическая иллюстрация: точка с координатами (x, y) на комплексной плоскости (ось Re — вещественная часть, ось Im — мнимая часть). Вектор от начала координат к точке (x, y) представляет число z. 2) Связь между алгебраической и тригонометрической формами - Алгебраическая форма: z = x + i y. - Тригонометрическая (польская) форма: z = r (cos φ + i sin φ) = r e^{i φ}, где - модуль r = |z| = sqrt(x^2 + y^2), - аргумент φ задаёт направление вектора: cos φ = x/r, sin φ = y/r. - Прямая связь: x = r cos φ, y = r sin φ. - Пример: z = 3 + 4i. Тогда r = sqrt(3^2 + 4^2) = 5, cos φ = 3/5, sin φ = 4/5, φ = arctan(4/3). Следовательно z = 5 (cos φ + i sin φ) = 5 e^{i φ}. 3) Определение числа, сопряжённого комплексному, и геометрическая интерпретация - Определение: сопряжённое число к z = x + i y есть z̄ = x - i y. - Геометрическая интерпретация: сопряжённое получается отражением точки z в действительной оси (отражение через ось Re). По модулю z̄ = |z|, аргумент z̄ = -φ (если φ — аргумент z). - Свойства: z z̄ = x^2 + y^2 = |z|^2; если z ≠ 0, то z̄ z = |z|^2. 4) Определение модуля комплексного числа, его свойства и геометрическая интерпретация - Определение: модуль z — это |z| = sqrt(x^2 + y^2). - Геометрическая интерпретация: длина вектора, изображающего z на комплексной плоскости; расстояние от начала координат до точки (x, y). - Свойства: - |z| ≥ 0, и |z| = 0 только для z = 0. - |zw| = |z| |w| (модуль произведения). - |z̄| = |z|. - Неравенство треугольника: |z + w| ≤ |z| + |w|. - z̄ = conjugate, следовательно |z| = sqrt(z z̄). 5) Тригономерная форма записи комплексного числа - В общем виде: z = r (cos φ + i sin φ) = r e^{i φ}, где r = |z| ≥ 0, φ — аргумент z (выбор принадлежности к определённому диапазону, например φ ∈ (-π, π]). - Исключение: если z = 0, аргумент φ не определён. - Применение: для возведения в степень/расписывания на множители легче работать с r и φ. 6) Что такое единичная окружность? Изобразите комплексное число на единичной окружности - Единичная окружность — множество комплексных чисел z с модулем |z| = 1. - Геометрически это окружность радиуса 1 centered в начале координат. - На единичной окружности любой з = cos φ + i sin φ = e^{i φ} имеет модуль 1. - Пример: z = e^{i π/3} = cos(π/3) + i sin(π/3) = 1/2 + i√3/2 — точка на единичной окружности под углом π/3. Дополнительные примеры для закрепления (по желанию): - Пример 1: z = 2 - 3i. Модуль |z| = sqrt(2^2 + (-3)^2) = sqrt(13). Аргумент φ таков, что cos φ = 2/√13, sin φ = -3/√13. - Пример 2: сопряжённое z̄ = 2 + 3i — отражено относительно вещественной оси. - Пример 3: если z = e^{i θ}, то на единичной окружности длина вектора равна 1, а угол θ задаёт направление вектора от начала координат.