Точки M и N середины сторон AD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части

Задача: в параллелограмме ABCD точки M и N — середины AD и BC соответственно. Докажите, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части. Обозначения: - Обозначим точку пересечения AN с BD как P = AN ∩ BD, а пересечения MC с BD как Q = MC ∩ BD. - Пусть вектор AB = b, AD = d. Тогда A = (0,0), B = b, D = d, C = B + D = b + d. - М = середина AD = d/2. - N = середина BC = B + (C − B)/2 = b + d/2. 1) Координатное представление прямых AN и BD - AN: из A в N, значит AN проходит по вектору AN = N − A = b + d/2. Параметризуем AN как t(b + d/2), t ∈ R. - BD: через B и D, парам. BD = D − B = d − b. Параметризуем BD как B + s(d − b) = b + s(d − b), s ∈ R. Найдем s, когда точка AN совпадает с BD (это будет P). 2) Найдём пересечение AN и BD Приравниваем координаты: t(b + d/2) = b + s(d − b) Разделим по базису по векторам b и d (они линейно независимы в параллелограмме): - по коэффициентам в b: t = 1 − s - по коэффициентам в d: t/2 = s Из второго: t = 2s. Подставим в первое: 2s = 1 − s ⇒ 3s = 1 ⇒ s = 1/3. Значит точка P расположена на BD на расстоянии s = 1/3 от B к D. То есть BP = (1/3)BD, PD = (2/3)BD. 3) Найдём пересечение MC и BD MC: через M и C. C = b + d, M = d/2, поэтому C − M = (b + d) − d/2 = b + d/2. Параметризуем MC как M + t'(C − M) = d/2 + t'(b + d/2). Запишем пересечение MC с BD: d/2 + t'(b + d/2) = b + s'(d − b) Разделим по базисам b и d: - по b: t' = 1 − s' - по d: (1/2)(1 + t') = s' Из второго: s' = (1 + t')/2. Подставим в первое: t' = 1 − (1 + t')/2 ⇒ t' = 1 − 1/2 − t'/2 ⇒ t' = 1/2 − t'/2 ⇒ (3/2)t' = 1/2 ⇒ t' = 1/3. Тогда s' = (1 + 1/3)/2 = (4/3)/2 = 2/3. Значит точка Q является на BD с параметром s' = 2/3 от B к D. То есть BQ = (2/3)BD, QD = (1/3)BD. 4) Вывод - P соответствует s = 1/3 на BD, Q — s = 2/3. - BP = (1/3)BD, BQ = (2/3)BD, D соответствует s = 1. - Тогда PQ = BQ − BP = (2/3 − 1/3)BD = (1/3)BD, QD = BD − BQ = (1/3)BD. Следовательно, BP = PQ = QD. Диагональ BD разбита на три равные части промежуточными точками P и Q, где P = AN ∩ BD, Q = MC ∩ BD. Задача решена.