Найти область определения функции: y =(arcsin x)/(sin5x)

Задача: найти область определения функции y = arcsin x / sin(5x).

Пошагово:

1. Область определения arcsin x:

• arcsin x определён при -1 ≤ x ≤ 1.

2. Условия на знаменатель:

• Чтобы дробь была определена, sin(5x) ≠ 0.
• sin(5x) = 0 тогда и только когда 5x = kπ, где k целое.
• Значит x ≠ kπ/5 для любого целого k.

3. Совмещение условий с -1 ≤ x ≤ 1:

• Найдём какие значения kπ/5 лежат внутри [-1, 1].
• π/5 ≈ 0.6283, -π/5 ≈ -0.6283. Следовательно внутри диапазона есть x = -π/5, 0, π/5.
• Эти точки необходимо исключить.

4. Область определения:

• D = [-1, 1] \ { -π/5, 0, π/5 }.
• Альтернативно в виде промежутков: [-1, -π/5) ∪ (-π/5, 0) ∪ (0, π/5) ∪ (π/5, 1].

Проверка:

• Возьмем концы: x = -1 и x = 1 удовлетворяют -1 ≤ x ≤ 1 и sin(5x) не равен нулю на этих точках, поэтому они включены.
• Точки -π/5, 0, π/5 исключаем, так как в них знаменатель равен нулю.

Ответ: область определения функции y = arcsin x / sin(5x) состоит из всех x ∈ [-1, 1], кроме x = -π/5, 0 и π/5.