выяснить четность(нечетность)) функций: y=x^2 ln x y=((x^4)/(sin x))-x^3 ln(1+x^2)

Цель: понять четность функций и дать подробное пояснение.

1. Функция y = x^2 ln x

• Область определения: x > 0.
• По определению чётности нужна симметрия относительно оси O: f(-x) должно быть определено и равно f(x) для всех x в области, для которых -x тоже лежит в области.
• Но для любого x > 0 число -x не принадлежит области (x > 0 ⇒ -x < 0 и не в области ln x).
• Поэтому стандартная проверка чётности недостижима: область функции не симметрична относительно 0. Следовательно, говорить о чётности/нечётности на естественной области не корректно.
• Вывод: эта функция не является ни чётной, ни нечётной (чётность не определена на её естественной области определения).

2. Функция y = x^4 / sin x − x^3 ln(1 + x^2)

• Область определения: все действительные x, кроме точек, где sin x = 0, то есть x ≠ kπ, где k ∈ Z. Эта область симметрична относительно нуля (если x ∉ D, то и −x ∉ D аналогично, поскольку sin(−x) = −sin x и нули синуса симметричны).
• Проверим чётность: f(x) = x^4 / sin x − x^3 ln(1 + x^2) f(−x) = (−x)^4 / sin(−x) − (−x)^3 ln(1 + (−x)^2) = x^4 / (−sin x) − (−x^3) ln(1 + x^2) = − x^4 / sin x + x^3 ln(1 + x^2) = − [x^4 / sin x − x^3 ln(1 + x^2)] = − f(x).
• Таким образом, f(−x) = − f(x) для всех допустимых x. Следовательно, функция нечётная.

Кратко:

• y = x^2 ln x: четности на естественной области определения нет (область не симметрична по 0), поэтому говорить о чётности нельзя; функция не считается ни чётной, ни нечётной.
• y = x^4 / sin x − x^3 ln(1 + x^2): нечётная на своей области определения (D = R \ {kπ}).