арифметический корнь

Отлично, давай разберём отрезок задач на арифметические корни. Основная идея: если у нас есть выражение вида корень с индексом n от числа a^m, то можно переписать как a^(m/n). То есть корень n из a^m равен (a^m)^(1/n) = a^(m/n). Нужно лишь увидеть, можно ли сократить дробь m/n и понять, можно ли привести под радикал к степеням, равным полной степени индекса.

Пояснения по общему правилу:

• корень n из (a^m) = a^(m/n).
• если n делитель m, то можно вынести целые степени: например ^6√(36^3) = 36^(3/6) = 36^(1/2) = √36.
• если радикал содержит дробь, то аналогично: ((1/5)^8)^(1/4) = (1/5)^(8/4) = (1/5)^2.
• если внутри радикала отрицательное число и индекс четный — задача не имеет вещественного корня; если индекс нечётный — можно брать корень от отрицательного числа с сохранением знака.

Теперь конкретно по твоему изображению. Я разберу задачи 28 и 29 (там выражения достаточно ясно читаются), и далее дам решения для 31 и 32, а пункт 30 попроси привести текст — там на фото чтение не очень ясно. Если хочешь, могу переработать и для 30 тоже, как только ты подтвердишь текст задач.

Задачи 28 (Вычислить (28–30)) — решения:

1. ^6√(36^3)

• Применяем правило: (36^3)^(1/6) = 36^(3/6) = 36^(1/2) = √36 = 6. Ответ: 6

2. ^12√(64^2)

• (64^2)^(1/12) = 64^(2/12) = 64^(1/6).
• 64 = 2^6, поэтому 64^(1/6) = (2^6)^(1/6) = 2. Ответ: 2

3. ^4√((1/25)^2)

• ((1/25)^2)^(1/4) = (1/25)^(2/4) = (1/25)^(1/2) = 1/√25 = 1/5. Ответ: 1/5

4. ^8√(225^4)

• (225^4)^(1/8) = 225^(4/8) = 225^(1/2) = √225 = 15. Ответ: 15

Задачи 29 (также в рамках той же группы):

1. ^3√(10^6)

• (10^6)^(1/3) = 10^(6/3) = 10^2 = 100. Ответ: 100

2. ^3√(3^12)

• (3^12)^(1/3) = 3^(12/3) = 3^4 = 81. Ответ: 81

3. ^4√((1/2)^12)

• ((1/2)^12)^(1/4) = (1/2)^(12/4) = (1/2)^3 = 1/8. Ответ: 1/8

4. ^4√((1/3)^16)

• ((1/3)^16)^(1/4) = (1/3)^(16/4) = (1/3)^4 = 1/81. Ответ: 1/81

Задачи 31 (Решить уравнения):

1. x^4 = 256

• 256 = 2^8. Тогда x^4 = 2^8, значит x^2 = 2^4 = 16, и x = ±4. Ответ: x = 4 или x = -4

2. x^5 = -1/32

• -1/32 = -(1/2)^5. Следовательно, x^5 = -(1/2)^5, значит x = -1/2. Ответ: x = -1/2

3. 5x^5 = -160

• x^5 = -160/5 = -32. Тогда x = (-32)^(1/5) = -2 (так как (-2)^5 = -32). Ответ: x = -2

4. 2x^6 = 128

• x^6 = 128/2 = 64. Тогда x = ±64^(1/6) = ±(2^6)^(1/6) = ±2. Ответ: x = 2 или x = -2

Задачи 32 (Вычислить (32–36)): Пункт 32.1–32.4 на фото читается примерно так (я даю трактовку так, чтобы получились целые числа; если у тебя другой текст — пришли точную запись):

1. ∛(-125) + (1/8)√64

• ∛(-125) = -5, √64 = 8, (1/8)·8 = 1, итого: -5 + 1 = -4 Ответ: -4

2. 5√32 − 0,5 ∛216

• 5√32 означает корень пятой степени из 32. 32 = 2^5, значит корень пятой степени из 32 равен 2.
• ∛216 = 6, 0,5·6 = 3.
• Итого: 2 − 3 = -1 Ответ: -1

3. −(1/3)√81 + √625

• √81 = 9, (1/3)·9 = 3, с минусом получается -3. √625 = 25.
• Итого: -3 + 25 = 22 Ответ: 22

4. ∛(-1000) − (1/4)√256

• ∛(-1000) = -10, √256 = 16, (1/4)·16 = 4.
• Итого: -10 − 4 = -14 Ответ: -14

Если хочешь, могу подробно разобрать и прочие формулировки 30-го пункта и проверить точность по твоей версии задачи. Просто перешли текст задач 30–30х или пришли более чёткую фотографию.

Коротко подытожу:

• Для выражений вида (a^m)^(1/n) используем правило m/n.
• Для удобства можно приводить радикалы к базовым степеням: 64 = 2^6, 225 = 15^2 и т. п.
• В задачах на уравнения в степени чаще всего корни сохраняют знак по той же причине (когда степень чётная, корень может быть только неотрицательным; когда нечётная — сохраняется знак).

Если хочешь, могу продолжить и решить полностью 30–32, если ты подтвердишь точные формулировки каждого пункта.