найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными dy=y(3x^-1) dx
Разберём задачу как уравнение с разделяющимися переменными.
Дано: dy/dx = y · (3/x), где x ≠ 0.
Разделим переменные dy/y = 3 dx/x
Посчитаем интегралы ∫ (1/y) dy = ∫ (3/x) dx ln|y| = 3 ln|x| + C
Приведём к явному виду ln|y| - 3 ln|x| = C ln(|y|/|x|^3) = C |y|/|x|^3 = e^C = K > 0
Из этого следует общее решение y = C x^3, где C — произвольная константа (включая C = 0).
Область определения x ≠ 0. Решения на разных интервалах ((-∞,0) и (0, ∞)) могут различаться только по константе, но формула одинакова.
Проверка Если y = C x^3, то y' = 3C x^2, а правая часть: y · (3/x) = (C x^3) · (3/x) = 3C x^2. Совпадает.
Примеры частных решений
- Пусть y(2) = 6. Тогда 6 = C · 2^3 = 8C, отсюда C = 6/8 = 3/4. Частное решение: y = (3/4) x^3.
- Нулевое решение: C = 0 → y ≡ 0.
Если нужно, могу привести конкретное частное решение для вашего условия начального значения y(x0) = y0 и показать, как найти константу C.
