x²+7x+12 <0

Задача: x^2 + 7x + 12 < 0

Пошаговое решение (для понимания):

1. Разложение на множители

• x^2 + 7x + 12 можно разложить на множители: x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
• Это верно, потому что (x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12.

2. Найдем корни уравнения

• Рассматриваем равенство (x + 3)(x + 4) = 0.
• Корни: x = -3 и x = -4.

3. Каков знак выражения?

• Поскольку коэффициент перед x^2 положительный (a = 1), парабола открывается вверх.
• Знак произведения (x+3)(x+4) будет отрицательным между корнями, а вне их — положительным.

4. Интервальный разбор

• Проверим интервалы: (-∞, -4), (-4, -3), (-3, ∞).
• В примере x = -5: (−5+3)(−5+4) = (−2)(−1) = 2 > 0.
• В примере x = -3.5: (−0.5)(0.5) = −0.25 < 0.
• В примере x = 0: (3)(4) = 12 > 0.
• Значит выражение < 0 только на интервале (-4, -3).

5. Ответ

• Решение неравенства: x ∈ (-4, -3).
• Так как неравенство строгое (< 0), концы не включаются: x ≠ -4 и x ≠ -3.

Дополнительный вариант рассуждения (без разложения на множители):

• Равенство (x+3)(x+4) = 0 даёт те же корни (-4 и -3).
• Неравенство (x+3)(x+4) < 0 выполняется, когда ровно один из множителей отрицателен. Это возможно только если -4 < x < -3.

Готово. Если хочешь, могу привести график или проверить другие способы решения.