F(x)=5x^4-3x^2

Разберём функцию f(x) = 5x^4 − 3x^2 и максимально подробно объясним все шаги анализа. 1) Область определения - Для полиномов область определения — вся действительная числовая ось. То есть x ∈ ℝ. 2) Простое преобразование и нули - Вынесем общий множитель: f(x) = x^2(5x^2 − 3). - Корни функции (нулевые значения): f(x) = 0 ⇒ x^2(5x^2 − 3) = 0. - x^2 = 0 ⇒ x = 0 (множество корней кратности 2). - 5x^2 − 3 = 0 ⇒ x^2 = 3/5 ⇒ x = ±√(3/5). - Итак, нули: x = 0, ±√(3/5). 3) Производная и критические точки - Производная: f′(x) = d/dx(5x^4 − 3x^2) = 20x^3 − 6x = 2x(10x^2 − 3). - Критические точки: f′(x) = 0 → либо x = 0, либо 10x^2 − 3 = 0 → x = ±√(3/10). - Итого критические точки: x = −√(3/10), 0, √(3/10). 4) Вторая производная и классификация экстремумов - Вторая производная: f′′(x) = 60x^2 − 6 = 6(10x^2 − 1). - Оценим в критических точках: - x = 0: f′′(0) = −6 < 0 → локальный максимум. - x = ±√(3/10): x^2 = 0.3 ⇒ 10x^2 − 1 = 3 − 1 = 2 → f′′(±√(3/10)) = 6·2 = 12 > 0 → локальные минимумы. 5) Значения функции в критических точках - f(0) = 5·0 − 0 = 0. - x^2 = 3/10 → x^4 = 9/100. Тогда f(±√(3/10)) = 5·(9/100) − 3·(3/10) = 45/100 − 9/10 = 9/20 − 18/20 = −9/20. - Значения: - локальный максимум при x = 0: f(0) = 0 - локальные минимумы при x = ±√(3/10): f = −9/20 6) Таблица монотонности (чтобы понять поведение графика) - Производная f′(x) = 2x(10x^2 − 3) меняет знак в точках x = −√(3/10), 0, √(3/10). - Интервалы и знак f′: - x < −√(3/10): x отрицателен, 10x^2 − 3 > 0 → f′ < 0 → функция убывает. - −√(3/10) < x < 0: x отрицателен, 10x^2 − 3 < 0 → f′ > 0 → функция возрастает. - 0 < x < √(3/10): x положителен, 10x^2 − 3 < 0 → f′ < 0 → функция убывает. - x > √(3/10): x положителен, 10x^2 − 3 > 0 → f′ > 0 → функция возрастает. - Таким образом: - в x = −√(3/10) — локальный минимум; - в x = 0 — локальный максимум; - в x = √(3/10) — локальный минимум. 7) График и общие выводы - Пределы при x→±∞: ведущий член 5x^4 доминирует, поэтому f(x) → +∞. - Функция симметрична относительно оси y (f(−x) = f(x)) — чётко видно по формуле f(x) = 5x^4 − 3x^2. - Нули: x = 0 (множ. 2) и x = ±√(3/5). - Экстремумы: - локальный максимум: x = 0, значение f(0) = 0; - локальные минимумы: x = ±√(3/10), значение f = −9/20. - Глобальный минимум: на всей оси наименьшее значение равно −9/20 (так как дальше функция растёт к +∞ при |x| → ∞). Если хотите, могу привести график функции или ответить на конкретную задачу по этой функции (например, найти интервал монотонности, найти точку пересечения с осью x, построить график).