Решение системы пошагово с объяснениями
Даны уравнения:
- 3x + 2y + z = 5
- 2x + 3y + z = 1
- 2x + y + 3z = 11
Шаг 1. Выразим связи между переменными из первых двух уравнений
Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
(3x - 2x) + (2y - 3y) + (z - z) = 5 - 1
x - y = 4
Отсюда x = y + 4. (A)
Шаг 2. Найдем зависимость между y и z
Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):
(2x - 2x) + (y - 3y) + (3z - z) = 11 - 1
-2y + 2z = 10
Разделим на 2: -y + z = 5, значит z = y + 5. (B)
Шаг 3. Подставим найденные выражения в одно из исходных уравнений
Подставим x = y + 4 и z = y + 5 в уравнение (1):
3(y + 4) + 2y + (y + 5) = 5
3y + 12 + 2y + y + 5 = 5
(3 + 2 + 1) y + 17 = 5
6y = -12
y = -2
Шаг 4. Найдем остальные переменные
x = y + 4 = -2 + 4 = 2
z = y + 5 = -2 + 5 = 3
Ответ: x = 2, y = -2, z = 3
Проверка (на всякий случай):
- В (2): 2x + 3y + z = 2·2 + 3·(-2) + 3 = 4 - 6 + 3 = 1 ✓
- В (3): 2x + y + 3z = 2·2 + (-2) + 3·3 = 4 - 2 + 9 = 11 ✓
Дополнительная заметка (для понимания метода): система имеет детерминант матрицы коэффициентов
A = [ [3, 2, 1], [2, 3, 1], [2, 1, 3] ]
det(A) = 12 ≠ 0, значит решение единственно существующее.
