{3х+2у+1z=5 2x+3y+z=1 2x+y+3z=11
Решение системы пошагово с объяснениями
Даны уравнения:
- 3x + 2y + z = 5
- 2x + 3y + z = 1
- 2x + y + 3z = 11
Шаг 1. Выразим связи между переменными из первых двух уравнений Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): (3x - 2x) + (2y - 3y) + (z - z) = 5 - 1 x - y = 4 Отсюда x = y + 4. (A)
Шаг 2. Найдем зависимость между y и z Вычтем уравнение (2) из уравнения (3): (2x - 2x) + (y - 3y) + (3z - z) = 11 - 1 -2y + 2z = 10 Разделим на 2: -y + z = 5, значит z = y + 5. (B)
Шаг 3. Подставим найденные выражения в одно из исходных уравнений Подставим x = y + 4 и z = y + 5 в уравнение (1): 3(y + 4) + 2y + (y + 5) = 5 3y + 12 + 2y + y + 5 = 5 (3 + 2 + 1) y + 17 = 5 6y = -12 y = -2
Шаг 4. Найдем остальные переменные x = y + 4 = -2 + 4 = 2 z = y + 5 = -2 + 5 = 3
Ответ: x = 2, y = -2, z = 3
Проверка (на всякий случай):
- В (2): 2x + 3y + z = 2·2 + 3·(-2) + 3 = 4 - 6 + 3 = 1 ✓
- В (3): 2x + y + 3z = 2·2 + (-2) + 3·3 = 4 - 2 + 9 = 11 ✓
Дополнительная заметка (для понимания метода): система имеет детерминант матрицы коэффициентов A = [ [3, 2, 1], [2, 3, 1], [2, 1, 3] ] det(A) = 12 ≠ 0, значит решение единственно существующее.
