Реши задачу 371

Задача 371 имеет две части: (а) и (б). Приведу подробное решение по каждой. Часть (а) Доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC. 1) Рассмотрим треугольники BAC и ACD. - В треугольнике BAC углы: ∠BAC (при A) и ∠BCA (при C). - В треугольнике ACD углы: ∠ACD (при C) и ∠DAC (при A). Даны равенства ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC, следовательно триугольники BAC и ACD подобны по признаку AA. 2) По соответствиям сторон при подобии имеем: AB соответствует CD, BC соответствует AD, AC соответствует CA. То есть AB = CD и BC = AD. 3) В выпуклом четырёхугольнике ABCD наличие AB = CD и BC = AD означает, что противоположные стороны равны попарно. Из этого следует, что ABCD — параллелограмм (известное свойство: в четвертиугольнике две пары противоположных сторон равны тогда и только тогда, когда он является параллелограммом; здесь достаточно получить прямое соотношение сторон и сделать вывод о параллельности противоположных сторон). Ответ по (а): ABCD — параллелограмм. Часть (б) Доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если AB ∥ CD и ∠A = ∠C. 1) По условию AB ∥ CD. Обозначим углы через соответствующие: - ∠A — угол между AB и AD. - ∠C — угол между BC и CD. Из параллельности AB ∥ CD получаем: - ∠A = угол между CD и AD = ∠CDA. - ∠C = угол между BC и AB = ∠CBA. Следовательно из условия ∠A = ∠C следует ∠CDA = ∠CBA. 2) Так как CD ∥ AB, углы ∠CDA и ∠CBA образуют одинаковые углы с одной и той же прямой (CD или AB). Это значит, что линии DA и CB образуют одинаковый угол с одной и той же параллельной линией; следовательно DA ∥ CB. 3) Мы уже имеем AB ∥ CD (по условию) и только что доказали AD ∥ BC. Значит ABCD имеет обе пары противоположных сторон параллельны, то есть ABCD — параллелограмм. Ответ по (б): ABCD — параллелограмм. Итог: в обеих частях при данных условиях quadrilateral ABCD оказывается параллелограммом.