х+3/х-7<0

Понял задачу. Возможны две распространённые интерпретации записи х+3/х-7<0. Ниже дам подробные решения для обеих вариантов и отмечу, какой какой результат получается. Сообщи, какая форма верная, если хочешь конкретный ответ.

Вариант A. (x+3)/(x-7) < 0

• Область определения: x ≠ 7.
• Нули числителя и знаменателя: x+3=0 → x=-3; x-7=0 → x=7.
• Разбиваем числовую ось на интервалы по критическим точкам: (-∞, -3), (-3, 7), (7, ∞).
• Подстановка знака в каждом интервале:
  • x < -3: числитель x+3 < 0, знаменатель x-7 < 0 → частное положительно. Не подходит.
  • -3 < x < 7: числитель > 0, знаменатель < 0 → частное отрицательно. Подходит.
  • x > 7: числитель > 0, знаменатель > 0 → частное положительно. Не подходит.
• Так как неравенство строгое (< 0), исключаем точки x=-3 и x=7 (они дают 0 или неопределённость).
• Ответ: (-3, 7).

Вариант B. x + 3/x - 7 < 0

• Сначала объединяем в одну дробь: x + 3/x - 7 = (x^2)/x + 3/x - 7 = (x^2 - 7x + 3)/x. Неопределённо: x ≠ 0.
• Теперь неравенство: (x^2 - 7x + 3)/x < 0.
• Нули числителя: x^2 - 7x + 3 = 0 → x = [7 ± sqrt(37)]/2. Обозначим их как r1 = (7 - sqrt(37))/2 и r2 = (7 + sqrt(37))/2. Приближённо: r1 ≈ 0.459, r2 ≈ 6.541.
• Точки разрыва: x = 0, x = r1, x = r2.
• Разбиваем ось на интервалы: (-∞, 0), (0, r1), (r1, r2), (r2, ∞).
• Оценка знака на интервалах (берём по тестовым точкам):
  • x < 0 (например, x = -1): числитель x^2 - 7x + 3 > 0; делитель x < 0 → дробь отрицательная. Подходит.
  • 0 < x < r1 (например, x = 0.1): числитель > 0; делитель > 0 → дробь положительная. Не подходит.
  • r1 < x < r2 (например, x = 1): числитель < 0; делитель > 0 → дробь отрицательная. Подходит.
  • x > r2 (например, x = 10): числитель > 0; делитель > 0 → дробь положительная. Не подходит.
• Значит, решения: x ∈ (-∞, 0) ∪ (r1, r2), где r1 = (7 - sqrt(37))/2, r2 = (7 + sqrt(37))/2.
• Ответ в явном виде: (-∞, 0) ∪ ((7 - sqrt(37))/2, (7 + sqrt(37))/2).

Если хочешь, могу привести одно конкретное решение в виде шага за шагом для выбранного варианта и оставить только его. Сообщи, какой формат задачи подразумевался: A (деление) или B (x + 3/x - 7).