Реши

Ниже пошаговые решения по каждому пункту из изображения.

a) (x^2 − 4x + 4) / (x^2 − 2x)

• Факторизация: x^2 − 4x + 4 = (x − 2)^2, x^2 − 2x = x(x − 2)
• Приведение: (x − 2)^2 / [x(x − 2)] = (x − 2)/x, при условии, что можно перейти к сокращению
• Ограничения: знаменатель не равен нулю: x(x − 2) ≠ 0 → x ≠ 0, 2
• Итог: (x − 2)/x, x ≠ 0 и x ≠ 2

b) (3y^2 + 24y) / (y^2 + 16y + 64)

• Факторизация: 3y^2 + 24y = 3y(y + 8); y^2 + 16y + 64 = (y + 8)^2
• Приведение: [3y(y + 8)] / (y + 8)^2 = 3y/(y + 8), при условии сокращения
• Ограничения: знаменатель ≠ 0 → (y + 8)^2 ≠ 0 → y ≠ −8
• Итог: 3y/(y + 8), y ≠ −8

c) (a^2 + a + 1) / (a^3 − 1)

• Факторизация: a^3 − 1 = (a − 1)(a^2 + a + 1)
• Приведение: (a^2 + a + 1) / [(a − 1)(a^2 + a + 1)] = 1/(a − 1), при условии сокращения
• Ограничения: знаменатель исходного выражения ≠ 0 → a^3 − 1 ≠ 0 → a ≠ 1
• Примечание: над полем действительных чисел a^2 + a + 1 ≠ 0 для реальных a, поэтому дополнительного ограничения нет
• Итог: 1/(a − 1), a ≠ 1

d) (b + 2) / (b^3 + 8)

• Факторизация: b^3 + 8 = (b + 2)(b^2 − 2b + 4)
• Приведение: (b + 2)/[(b + 2)(b^2 − 2b + 4)] = 1/(b^2 − 2b + 4), при условии сокращения
• Ограничения: знаменатель исходного выражения ≠ 0 → b^3 + 8 ≠ 0 → b ≠ −2
• Примечание: b^2 − 2b + 4 имеет дискриминант Δ = (−2)^2 − 16 = −12, значит не обращуется в ноль для действительных b
• Итог: 1/(b^2 − 2b + 4), b ≠ −2

Кратко:

• Все задачи сводятся к факторизации и удалению общих множителей, соблюдая условие неравенства знаменателей нулю.
• После сокращения указывайте новые ограничения, если они отличаются от исходных.