По математическому анализу

Ниже подробное решение по трём заданиям. Цель — понять операции над множествами: пересечение, объединение, симметрическая разность и декартовы произведения. 1) A = {a, 1, 2}, B = {a, b, 1} - A ∩ B (пересечение): общие элементы A и B. = {a, 1} - A ∪ B (объединение): все элементы, встречающиеся в любом из множеств. = {a, 1, 2, b} - A Δ B (симметрическая разность): элементы, belong либо A, либо B, но не обе simultaneously. = (A \ B) ∪ (B \ A) = {2} ∪ {b} = {2, b} - B Δ A: та же симметрическая разность, порядок неважен. = {2, b} - A × B (декартово произведение): все пары (x, y), где x ∈ A, y ∈ B. = { (a, a), (a, b), (a, 1), (1, a), (1, b), (1, 1), (2, a), (2, b), (2, 1) } - B × A: все пары (x, y), где x ∈ B, y ∈ A. = { (a, a), (a, 1), (a, 2), (b, a), (b, 1), (b, 2), (1, a), (1, 1), (1, 2) } 2) A = {2n − 1 | n ∈ N}, B = {−1, 0, 1, 2, 3} Замечание: обычно N = {1, 2, 3, …}, значит A = {1, 3, 5, 7, …} — все нечетные положительные числа. Будем придерживаться этой интерпретации. - A ∩ B: общие элементы A и B. = {1, 3} - A ∪ B: объединение множества нечетных положительных чисел и данного набора. = {−1, 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, …} (то есть все нечетные числа, начиная с 1, плюс −1, 0 и 2) - A Δ B: симметрическая разность. = (A \ B) ∪ (B \ A) = {5, 7, 9, 11, …} ∪ {−1, 0, 2} = {−1, 0, 2, 5, 7, 9, 11, …} - B Δ A: та же симметрическая разность. = {−1, 0, 2, 5, 7, 9, 11, …} - A × B: декартово произведение (пары x ∈ A, y ∈ B). = { (2n − 1, y) | n ∈ N, y ∈ {−1, 0, 1, 2, 3} } Примеры: (1, −1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, −1), … - B × A: декартово произведение (пары x ∈ B, y ∈ A). = { (x, 2n − 1) | x ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}, n ∈ N } Примеры: (−1, 1), (−1, 3), (0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), … 3) A = (−∞, 3), B = [−1, +∞) - A ∩ B: пересечение. = { x ∈ R | −∞ < x < 3 и −1 ≤ x } = [−1, 3) - A ∪ B: объединение. Так как A покрывает всё слева до 3, а B — от −1 вправо, объединение охватывает все вещественные числа. = R (все действительные числа) - A Δ B: симметрическая разность. = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = R \ [−1, 3) = (−∞, −1) ∪ [3, ∞) - A × B: декартово произведение (x, y) с x ∈ A, y ∈ B. = { (x, y) ∈ R^2 | x < 3, y ≥ −1 } - B × A: декартово произведение (y, x) с y ∈ B, x ∈ A. = { (y, x) ∈ R^2 | y ≥ −1, x < 3 } Примечания: - В задачах 2 и 3 многие множества бесконечны; записаны общими формулами и указаны характерные общие виды элементов. - Если в задаче 2 взять N с нуля, то A будет включать −1 как один из элементов (так как 2·0 − 1 = −1). Это изменит лишь начало множества A, но не логику вычислений: пересечение останется {−1, 3} и т.д. Уточните, какой принятый вариант N, если нужно скорректировать конкретные элементы.