Четырехугольник ABCF вписан в окружность,Прямые AB и CD пересекаются в точке K,BK = 12,DK = 16, BC = 24,Найдите AD
Ответ: AD = 32
Пошаговое решение
- Обозначения
- Пусть AB = x. Тогда KA = AB + BK = x + 12.
- Пусть CD = y. Так как KD = 16 и KC — расстояние от K до точки C на линии CD, а C находится ближе к K, чем D, имеем y = CD = KD − KC = 16 − KC. Но KC удобно выразить через KA позже.
- Свойство от точки K (мощность точки) Так как AB и CD — две секущие к окружности, пересекающиеся в K, выполняется равенство мощности: BK · KA = CK · KD.
Подставим данные: 12 · (x + 12) = CK · 16 ⇒ CK = 12(x + 12) / 16 = 3/4 · (x + 12).
- Ввод угла между прямыми AB и CD Пусть угол между прямыми AB и CD равен θ. Поскольку KB и KA лежат на одной прямой AB, а KC и KD — на одной прямой CD, можно в координатах выбрать:
- K = (0, 0),
- AB лежит вдоль оси x влево, потому что точка K снаружи слева от круга в рисунке: B = (−12, 0), A = (−KA, 0) = (−(x+12), 0).
- CD делает угол θ с осью x: C = (KC cos θ, KC sin θ), D = (KD cos θ, KD sin θ) = (16 cos θ, 16 sin θ), где KC = 3/4 · (x + 12) из п.2.
- Уравнение по BC Длина BC задана как 24, т.е. BC^2 = 576. Вычислим BC через координаты B и C: BC^2 = [−12 − KC cos θ]^2 + [−KC sin θ]^2 = 144 + KC^2 + 24 KC cos θ.
Отсюда 576 = 144 + KC^2 + 24 KC cos θ, чтобы выразить косинус θ: 24 KC cos θ = 576 − 144 − KC^2 ⇒ cos θ = (432 − KC^2) / (24 KC).
Выражение AD через KA и θ AD^2 = [−KA − 16 cos θ]^2 + [−16 sin θ]^2 = KA^2 + 32 KA cos θ + 256.
Подстановка KC через KA Из п.2 KC = 3/4 · (x + 12) = 3/4 · KA, следовательно KC^2 = (9/16) KA^2.
Подставим косинус θ из п.4 в выражение AD^2: cos θ = (432 − KC^2) / (24 KC) = [432 − (9/16) KA^2] / [24 · (3/4 KA)] = [432 − (9/16) KA^2] / [(18/ KA)] А затем умножим на KA в формуле AD^2: 32 KA cos θ = 32 KA · [432 − (9/16) KA^2] / (24 KC) = 768 − KA^2 (пользуясь KC = (3/4) KA).
Тогда AD^2 = KA^2 + (768 − KA^2) + 256 = 1024.
- Итог AD^2 = 1024, значит AD = 32.
Заключение Используя мощность точки K и геометрию расположения точек на секущих AB и CD, получаем единственное значение AD, равное 32.
