cos(3x+1)≤-√2/2

Задача: cos(3x+1) ≤ -√2/2

Поясню решение по шагам (для уровня 11 класса).

1. Ввод переменной

• Пусть t = 3x + 1. Тогда неравенство становится cos t ≤ -√2/2.

2. Где cos t ≤ -√2/2?

• Значения cos t равны -√2/2 в точках t = 3π/4 + 2πk и t = 5π/4 + 2πk (k ∈ Z).
• График косинуса на интервале [0, 2π] показывает, что cos t ≤ -√2/2 на отрезке [3π/4, 5π/4].
• Следовательно, для всех целых k выполняется: t ∈ [3π/4 + 2πk, 5π/4 + 2πk].

3. Возвращаемся к x

• 3x + 1 ∈ [3π/4 + 2πk, 5π/4 + 2πk].
• Вычитаем 1: 3x ∈ [3π/4 - 1 + 2πk, 5π/4 - 1 + 2πk].
• Делим на 3: x ∈ [π/4 - 1/3 + 2πk/3, 5π/12 - 1/3 + 2πk/3].

4. Итог

• Объединение по все k ∈ Z дает решение: x ∈ ∪_{k∈Z} [π/4 - 1/3 + 2πk/3, 5π/12 - 1/3 + 2πk/3].

5. Примечание

• Все углы считаются в радианах.
• Длина каждого интервала равна (5π/12 − 1/3) − (π/4 − 1/3) = π/6, и каждый интервал начинается через 2π/3 по x (то есть через 2π/3 ≈ 2.094 внутри знаменателя).

Пример значений для наглядности (k = 0):

• левая граница: π/4 − 1/3 ≈ 0.7854 − 0.3333 ≈ 0.4521
• правая граница: 5π/12 − 1/3 ≈ 1.30899 − 0.3333 ≈ 0.9757 Так что в районе x ∈ [0.452, 0.976] выполняется неравенство, и аналогично по сдвигам на 2π/3.