Задача: 16x^2 - 8x + 1 > 0
Цель: помочь понять решение пошагово.
Шаг 1. Привести выражение к более простому виду
16x^2 - 8x + 1 можно записать как квадратом:
(4x - 1)^2 = 16x^2 - 8x + 1.
Тогда неравенство становится (4x - 1)^2 > 0.
Шаг 2. Разобраться со свойством квадратов
Квадрат любого вещественного числа неотрицателен: (a)^2 ≥ 0.
Он равен нулю только тогда, когда a = 0.
Здесь a = 4x - 1. Значит (4x - 1)^2 > 0 тогда, когда 4x - 1 ≠ 0.
Шаг 3. Найти значение, при котором квадрат равен нулю
4x - 1 = 0 ⇒ x = 1/4.
Следовательно, неравенство выполняется для всех вещественных x, кроме x = 1/4.
Ответ:
x ∈ ℝ и x ≠ 1/4.
Дополнительный способ (по дискриминанту, для понимания вершины параболы)
- В исходном виде a = 16 > 0, парабола открывается вверх.
- Координата вершины: x0 = -b/(2a) = -(-8)/(32) = 1/4.
- Значение функции в вершине: f(1/4) = 16(1/4)^2 - 8(1/4) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0.
- Так как минимальное значение равно 0, а неравенство строгое (> 0) требует больше нуля, то решения — все x, кроме x = 1/4.
Итог: все вещественные числа, кроме 1/4.
