23. (Б) На стороне квадрата внутри него построили равносторонний треугольник. Найдите отмеченный на рисунке угол, под которым из вершины этого треугольника видна противоположная…

Задача по геометрии. Пусть сторона квадрата равна a. Основание равностороннего треугольника ABP лежит на нижней стороне квадрата: A=(0,0), B=(a,0). Точка P внутри квадрата должна удовлетворять AP=BP=AB=a, значит она лежит на перпендикулярной биссектрисе AB, то есть по координатам P=(a/2, h), где h = √(a^2 − (a/2)^2) = (√3/2) a.

Оппозиционная сторона квадрата — верхняя сторона CD: D=(0,a), C=(a,a). Нужно найти угол ∠CPD (угол при вершине P между отрезками PC и PD).

1. Векторы:

• PC = C − P = (a, a) − (a/2, (√3/2)a) = (a/2, a(1 − √3/2)).
• PD = D − P = (0, a) − (a/2, (√3/2)a) = (−a/2, a(1 − √3/2)).

2. Косинус угла между PC и PD: PC · PD = (a/2)(−a/2) + [a(1 − √3/2)]^2 = −a^2/4 + a^2(1 − √3/2)^2. |PC| = |PD| = sqrt[(a/2)^2 + a^2(1 − √3/2)^2].

Тогда cos ∠CPD = [PC · PD] / [|PC||PD|] = [−a^2/4 + a^2(1 − √3/2)^2] / [ (a^2/4) + a^2(1 − √3/2)^2 ].

Упростим, поделив на a^2: cos ∠CPD = [ (1 − √3/2)^2 − 1/4 ] / [ (1 − √3/2)^2 + 1/4 ]. Заметим, что (1 − √3/2)^2 = 7/4 − √3. Тогда: cos ∠CPD = [ (7/4 − √3) − 1/4 ] / [ (7/4 − √3) + 1/4 ] = [ 3/2 − √3 ] / [ 2 − √3 ].

Упростим далее: (3/2 − √3) / (2 − √3) = [ (3 − 2√3)/2 ] / (2 − √3) = (3 − 2√3) / [2(2 − √3)] = [(3 − 2√3)(2 + √3)] / [2((2 − √3)(2 + √3))] = (−√3) / 2.

То есть cos ∠CPD = −√3/2, значит ∠CPD = 150°.

Ответ: 150°.