Геометрия · 11 класс Задача №3380573
А
А
Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.
Ниже подробное решение с объяснениями.
Дано:
- Радиус сферы R = 10 см.
- Вершины прямоугольника лежат на сфере и на одной плоскости, значит они лежат на окружности пересечения этой плоскости с сферой.
- Диагональ прямоугольника d = 16 см.
Пояснения и шаги:
- Окружность пересечения сферы с плоскостью
- Плоскость, содержащая прямоугольник, пересекает шар в круг. Радиус этого круга обозначим r.
- Так как все четыре вершины прямоугольника лежат на этом круге, прямоугольник вписан в этот круг.
- Связь диагонали прямоугольника и радиуса круга
- Для прямоугольника любой вписанный в окружность, диагональ равна диаметру этой окружности.
- Диаметр круга пересечения равен 16 см, значит радиус круга r = 16/2 = 8 см.
- Расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника
- Обозначим центр сферы O, расстояние от O до самой плоскости как h (это и нужно найти).
- Центр круга пересечения лежит в проекции O на плоскость, пусть это точка C. Тогда OC = h и CA = r, где A – любая вершина прямоугольника.
- Любая вершина прямоугольника находится на сфере, поэтому расстояние OA равно радиусу сферы R = 10 см.
- По теореме Пифагора в треугольнике OCA: OA^2 = OC^2 + CA^2 => R^2 = h^2 + r^2.
- Вычисление h
- R^2 = 100, r^2 = 8^2 = 64.
- h^2 = R^2 − r^2 = 100 − 64 = 36, значит h = 6 (расстояние неотрицательно, берем модуль).
Ответ: Расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника равно 6 см.
Дополнительная заметка:
- Может существовать два расположения плоскости (с обеих сторон от центра), но расстояние до плоскости одинаковое и равно 6 см.
