Построй график функции

Задача: построить график f(x) и график составной функции f(f(x)) для заданного f. Важно: в вашем виде здесь есть неоднозначность по значению в точке x = 0, так как обе ветви заданы с включением 0. Обычно подправляют так, чтобы функция была однозначной: взять левую ветвь на -2 ≤ x < 0 и правую на 0 ≤ x ≤ 2. Буду пользоваться этим стандартным разграничением. Если у вас другая договоренность, скажите — адаптирую графики. 1) Прямой график f(x) - Определение (с оговоркой по x = 0): - f(x) = x + 2, для -2 ≤ x < 0 - f(x) = x − 1, для 0 ≤ x ≤ 2 - Что это значит на графике: - Первая ветвь: линейный участок сSlope 1, пересечение оси y в 2. Отмечаем точку (-2,0) и идём к точке (0,2), но в точке (0,2) — мы не включаем её (х1 = 0 не входит в эту ветвь). - Вторая ветвь: линейный участок сSlope 1, пересечение оси y в −1. Отмечаем точку (0,−1) и идём к точке (2,1), эта ветвь включена в обе концы. - Ключевые значения: - f(-2) = 0 - f(-1) = 1 - f(-0,1) ≈ 1,9 - f(0) = −1 (поскольку берём правую ветвь на x ≥ 0) - f(1) = 0 - f(2) = 1 - Примечание: в точке x = 0 график имеет разрыв по значению, т.к. слева подходит к 2, а справа взято значение −1. Это нормальная разрывная точка для такой выбора ветвей. 2) График f(f(x)) Чтобы построить f(f(x)), сначала нужно понять, какие значения принимает f(x): - При x ∈ [-2, 0) ветвь f(x) = x + 2 даёт f(x) ∈ [0, 2). - При x ∈ [0, 2] ветвь f(x) = x − 1 даёт f(x) ∈ [-1, 1]. Следовательно, f(x) всегда попадает в область [-1, 2), т.е. в область определения внешней функции f. Теперь считаем f(f(x)) по случаем: - Если f(x) ∈ [0, 2) (это для x ∈ [-2,0) и тоже для части x ∈ (0,1) и т.д.), то внешний f берёт ветвь f(y) = y − 1, получаем: - f(f(x)) = f(x) − 1. - Если f(x) ∈ [-1, 0) (это для x ∈ [0,1) ), то внешний f берёт ветвь f(y) = y + 2, получаем: - f(f(x)) = f(x) + 2 = (x − 1) + 2 = x + 1 (для соответствующих x). Разобьем по x: - Для -2 ≤ x < 0: f(x) = x + 2 ∈ [0, 2). Значит f(f(x)) = (x + 2) − 1 = x + 1. - Для 0 ≤ x < 1: f(x) = x − 1 ∈ [−1, 0). Значит f(f(x)) = (x − 1) + 2 = x + 1. - Для x = 1: f(1) = 0, следовательно f(f(1)) = f(0) = −1. - Для 1 < x ≤ 2: f(x) = x − 1 ∈ (0, 1]. Значит f(f(x)) = (x − 1) − 1 = x − 2. Итого компактнее: - f(f(x)) = x + 1 для -2 ≤ x < 1 - f(f(1)) = −1 - f(f(x)) = x − 2 для 1 < x ≤ 2 3) Как нарисовать графики (пошагово) - Шаг 1. Постройте график f(x): - Отрезок от (-2, 0) до (0, 2) с тем, что точка (0,2) не включена (отсечка на конце). - Отрезок от (0, −1) до (2, 1) полностью включён. - Шаг 2. Постройте график f(f(x)): - Первый участок: для x от -2 до 1 (не включая 1) — прямая y = x + 1. - Второй участок: для x от 1 до 2 (последовательно) — прямая y = x − 2, с точкой (1, −1) как заполненной (это значение f(f(1))). - В точке x = 1 ставим заполненную точку (1, −1); левая ветвь подходит к (1, 2) как предел, но значение в 1 равно −1, поэтому есть разрыв со стороны слева. - Шаг 3. Проверьте значения в нескольких точках, чтобы убедиться в правдоподобии: - f(-2)=0, f(f(-2)) = f(0) = −1 - f(-1)=1, f(f(-1)) = f(1) = 0 - f(0)=−1, f(f(0)) = f(−1) = 1 - f(0.5) = −0.5, f(f(0.5)) = f(−0.5) = 1.5 - f(1.5) = 0.5, f(f(1.5)) = f(0.5) = −0.5 - f(2) = 1, f(f(2)) = f(1) = 0 Кратко резюме формул - f(x): - -2 ≤ x < 0: f(x) = x + 2 - 0 ≤ x ≤ 2: f(x) = x − 1 - f(f(x)): - -2 ≤ x < 1: f(f(x)) = x + 1 (правая часть 1 включается только как предел в точке 1) - 1 < x ≤ 2: f(f(x)) = x − 2 - в точке x = 1: f(f(1)) = −1 Если хотите, могу нарисовать графики в виде схемы или привести готовые таблицы точек для печати, либо адаптировать под другую договоренность по включению x = 0 (например, сделать левую ветвь на -2 ≤ x ≤ 0 и правую на 0 < x ≤ 2).