решить уравнение 1/x² + x-2/x

Задача: решить уравнение 1/x^2 + x - 2/x = 0, при этом x ≠ 0.

Пошаговое решение:

1. Устраним знаменатели

• Умножим обе части уравнения на x^2 (поскольку равно 0 и домен требует x ≠ 0): 1 + x^3 - 2x = 0 или x^3 - 2x + 1 = 0.

2. Найдём корни кубического уравнения

• Проверим простые целые корни через теорему рациональных корней. Подставим x = 1: 1^3 - 2·1 + 1 = 0, значит x = 1 является корнем.

• Разложим многочейн на множители: x^3 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1). (Разложение можно проверить перемножением или делением полиномов.)

3. Решим квадратное уравнение

• Квадратная часть: x^2 + x - 1 = 0.
• Решение: x = [-1 ± sqrt(1 + 4)] / 2 = [-1 ± sqrt(5)] / 2.

4. Запишем все корни

• Итак, корни кубического уравнения: x ∈ { 1, (-1 + √5)/2, (-1 - √5)/2 }.

5. Проверка условий

• Обязательно помним про домен: x ≠ 0. Ни один из полученных корней не равен нулю, значит все корни допустимы.
• Краткая проверка на примере x = 1: 1/1^2 + 1 - 2/1 = 1 + 1 - 2 = 0, что верно.

Окончательный ответ: x = 1, x = (-1 + √5)/2, x = (-1 - √5)/2. Приближённые значения: x ≈ 1, x ≈ 0.618, x ≈ -1.618.