Решить уравнение 1/x² + x-2/x

Задача: решить уравнение 1/x^2 + x - 2/x = 0, при этом x ≠ 0. Пошаговое решение: 1) Устраним знаменатели - Умножим обе части уравнения на x^2 (поскольку равно 0 и домен требует x ≠ 0): 1 + x^3 - 2x = 0 или x^3 - 2x + 1 = 0. 2) Найдём корни кубического уравнения - Проверим простые целые корни через теорему рациональных корней. Подставим x = 1: 1^3 - 2·1 + 1 = 0, значит x = 1 является корнем. - Разложим многочейн на множители: x^3 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1). (Разложение можно проверить перемножением или делением полиномов.) 3) Решим квадратное уравнение - Квадратная часть: x^2 + x - 1 = 0. - Решение: x = [-1 ± sqrt(1 + 4)] / 2 = [-1 ± sqrt(5)] / 2. 4) Запишем все корни - Итак, корни кубического уравнения: x ∈ { 1, (-1 + √5)/2, (-1 - √5)/2 }. 5) Проверка условий - Обязательно помним про домен: x ≠ 0. Ни один из полученных корней не равен нулю, значит все корни допустимы. - Краткая проверка на примере x = 1: 1/1^2 + 1 - 2/1 = 1 + 1 - 2 = 0, что верно. Окончательный ответ: x = 1, x = (-1 + √5)/2, x = (-1 - √5)/2. Приближённые значения: x ≈ 1, x ≈ 0.618, x ≈ -1.618.