2. Перед походом за покупками у Матроскина и Шарика денег было поровну. Матроскин израсходовал в 8 раз меньше денег, чем Шарик, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у…

Задача содержит условия: у Матроскина и у Шарика изначально было поровну, затем Матроскин потратил в 8 раз меньше денег, чем Шарик, и после этого у него осталось в 9 раз больше денег, чем у Шарика. Нужно показать, что изначальная сумма у Матроскина делилась на 71.

Решение по шагам

1. Обозначения

• Пусть изначальная сумма у каждого была A (целое положительное число).
• Пусть Шарик потратил y, тогда Матроскин потратил y/8 (так как он потратил в 8 раз меньше). Чтобы деньги были целыми, y должно быть кратно 8.

2. Ввод параметра

• Обозначим y = 8k, где k — целое положительное число.
• Тогда потрачено:
  • Матроскин: x = y/8 = k
  • Шарик: y = 8k

3. Остатки денег после трат

• Осталось у Матроскина: A − k
• Осталось у Шарика: A − 8k

4. Условие "остатки в 9 раз больше"

• По условию: A − k = 9 (A − 8k)

5. Решение уравнения

• Раскроем скобки: A − k = 9A − 72k
• Перенесем все вправо: 0 = 8A − 71k
• Получаем: 8A = 71k

6. Вывод о делимости

• Так как 8 и 71 взаимно простые (n gcd(71, 8) = 1), из равенства 8A = 71k следует, что A делится на 71.
• Запишем общую форму решения: A = 71t, k = 8t, где t — положительное целое число.

7. Проверка на примере (для ясности)

• Пусть t = 1: A = 71, k = 8.
  • Шарик потратил 8k = 64, Матроскин потратил k = 8.
  • Остатки: у Матроскина 71 − 8 = 63, у Шарика 71 − 64 = 7.
  • 63 = 9 · 7, условие выполняется.
• Все суммы целые, значит задача выполнима и в общем виде.

Вывод Из равенства 8A = 71k и тому, что A и k целые, следует, что A = 71t для некоторого целого t. Значит изначальная сумма у Матроскина делилась на 71.