2. Перед походом за покупками у Матроскина и Шарика денег было поровну. Матроскин израсходовал в 8 раз меньше денег, чем Шарик, а осталось у него в 9 раз больше денег, чем у Шарика. Доказать, что изначально количество денег у Матроскина делилось на 71 (имеется в виду, что у Матроскина и Шарика во всех ситуациях было целое количество денег).

Задача содержит условия: у Матроскина и у Шарика изначально было поровну, затем Матроскин потратил в 8 раз меньше денег, чем Шарик, и после этого у него осталось в 9 раз больше денег, чем у Шарика. Нужно показать, что изначальная сумма у Матроскина делилась на 71. Решение по шагам 1) Обозначения - Пусть изначальная сумма у каждого была A (целое положительное число). - Пусть Шарик потратил y, тогда Матроскин потратил y/8 (так как он потратил в 8 раз меньше). Чтобы деньги были целыми, y должно быть кратно 8. 2) Ввод параметра - Обозначим y = 8k, где k — целое положительное число. - Тогда потрачено: - Матроскин: x = y/8 = k - Шарик: y = 8k 3) Остатки денег после трат - Осталось у Матроскина: A − k - Осталось у Шарика: A − 8k 4) Условие "остатки в 9 раз больше" - По условию: A − k = 9 (A − 8k) 5) Решение уравнения - Раскроем скобки: A − k = 9A − 72k - Перенесем все вправо: 0 = 8A − 71k - Получаем: 8A = 71k 6) Вывод о делимости - Так как 8 и 71 взаимно простые (n gcd(71, 8) = 1), из равенства 8A = 71k следует, что A делится на 71. - Запишем общую форму решения: A = 71t, k = 8t, где t — положительное целое число. 7) Проверка на примере (для ясности) - Пусть t = 1: A = 71, k = 8. - Шарик потратил 8k = 64, Матроскин потратил k = 8. - Остатки: у Матроскина 71 − 8 = 63, у Шарика 71 − 64 = 7. - 63 = 9 · 7, условие выполняется. - Все суммы целые, значит задача выполнима и в общем виде. Вывод Из равенства 8A = 71k и тому, что A и k целые, следует, что A = 71t для некоторого целого t. Значит изначальная сумма у Матроскина делилась на 71.