если три угла четырехугольника являются тупыми, то четвёртый угол-- острый. Докажите

Задача: доказать, что если три угла четырехугольника являются тупыми ( > 90° ), то четвертый угол острый (< 90°).

Коротко о фактe, который понадобится

• В любом четырехугольнике сумма внутренних углов равна 360°. Это можно увидеть, если использовать внешние углы: сумма внешних углов вокруг фигуры равна 360°, а внешний угол при вершине равен 180° минус соответствующий внутренний угол. Тогда (180−A)+(180−B)+(180−C)+(180−D)=360, откуда A+B+C+D=360.

Доказательство

1. Обозначим внутренние углы четырехугольника как A, B, C и D в последовательности по фигуре. По условию три из них obtuse: A > 90°, B > 90°, C > 90°.

2. Так как сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°, имеем: A + B + C + D = 360°.

3. Выразим четвертый угол D: D = 360° − (A + B + C).

4. Из A > 90°, B > 90°, C > 90° следует, что A + B + C > 270°. Значит: D = 360° − (A + B + C) < 360° − 270° = 90°.

5. Поскольку четырехугольник не degenerate (углы положительны и сумма ровно 360°), D > 0. Следовательно, 0° < D < 90°, то есть D является острым углом.

Вывод

• Если три угла четырехугольника obtuse (тупые), то четвертый угол обязательно острый. Это следует из того, что сумма всех четырех углов равна 360°, и три из них уже дают больше чем 270°, значит четвертый угол меньше 90°.