На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что треугольник ВАМ равен треугольнику CAN.

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на основании BC даны точки M и N такие, что BM = CN. Докажите, что треугольник BAM равен треугольнику CAN.

Решение по шагам

1. Свойство равнобедренного треугольника

• Так как AB = AC, высота AD (где D — середина BC) является осью симметрии треугольника ABC. Следовательно, AD фиксирует A и D, и отображает B на C, а BC на itself.

2. Отражение по оси симметрии AD

• Пусть s — отражение по линии AD. Тогда s(B) = C, s(C) = B, s(A) = A, и s отображает любые точки на BC в точки той же линии BC.
• Для произвольной точки M на BC отражение дает точку M′ на BC такую, что BM′ = CM и CM′ = BM.

3. Связь с данными условиями

• По условию BM = CN. Поскольку CN — расстояние от C до точки N на BC, существует唯一точка N на BC с CN = BM.
• С другой стороны, отражение s превращает M в точку M′ на BC с BM′ = CM.
• Из BM = CN следует, что M′ является точкой с CN = BM, то есть M′ coincides с N. Иными словами, N — это отражение M через AD: N = s(M).

4. Следствие для треугольников BAM и CAN

• Отражение s — это изометрия, поэтому оно сохраняет расстояния и конгруэнтность: треугольник BAM переходит под отражение в треугольник CAN (B ↔ C, A ↔ A, M ↔ N).
• Следовательно, треугольники BAM и CAN равны (конгруентны) как зеркальные изображения друг друга.

Замечание (альтернативный подход простого вычисления длин):

• Можно заметить также, что при выбранной симметрии AM = AN (меньше шифровать подробностями симметрии), AB = AC и BM = CN. Тогда треугольники BAM и CAN равны по третьему признаку конгруэнтности (SSS).

Итак, треугольник BAM равен треугольнику CAN.