Решите неравенство x^2 ×3^x -3^x+1<=0

Разберём задачу пошагово. Задача: решить неравенство x^2 · 3^x − 3^x + 1 ≤ 0. 1) Приведение к более удобной форме x^2 · 3^x − 3^x + 1 = 3^x (x^2 − 1) + 1. Следовательно неравенство эквивалентно 3^x (x^2 − 1) ≤ −1. Удобнее переписать в виде (1 − x^2) · 3^x ≥ 1. (1) 2) Ограничение по области значений - Если x ≥ 1, то 1 − x^2 ≤ 0, а 3^x > 0. Тогда левая часть (1 − x^2) 3^x ≤ 0, но не может быть ≥ 1. Значит решений в x ≥ 1 нет. - Если x ≤ −1, то 1 − x^2 ≤ 0, и аналогично левая часть ≤ 0 < 1. Значит решений в x ≤ −1 тоже нет. - Остаётся диапазон x ∈ [0, 1). Таким образом ищем решения только в промежутке 0 ≤ x < 1. 3) Анализ функции на отрезке [0,1) Обозначим h(x) = (1 − x^2) · 3^x. Тогда неравнение (1) равно h(x) ≥ 1, и решение задачи — те x из [0,1), для которых эта неравенство выполняется. - Значение в началах: h(0) = (1 − 0) · 3^0 = 1. Значит x = 0 удовлетворяет неравенству (равенство). - Производная: h'(x) = 3^x [ ln 3 · (1 − x^2) − 2x ]. Пусть q(x) = ln 3 · (1 − x^2) − 2x. Тогда q'(x) = −2x ln 3 − 2 < 0 для всех x ≥ 0, значит q(x) убывает на [0, ∞). По этому q(0) = ln 3 > 0, q(1) = −2 < 0, следовательно на [0,1] q переходит через ноль ровно один раз. Значит h' меняет знак ровно один раз: на малых x h' > 0 (h возрастает), далее после некоторого месте c ∈ (0,1) h' < 0 (h убывает). Отсюда: на [0,1] функция h возрастает до некоторого максимума и затем убывает, причём h(0) = 1 и h(1) = 0 < 1. Значит на промежутке (0,1) функция пересекает уровень 1 ещё раз в одной точке x = x*, где 0 < x* < 1. Именно она и задаёт верхнюю границу искомого множества: решение неравенства (1) — это x ∈ [0, x*]. 4) Численное приближение корня x* Необходимо решить уравнение h(x) = 1 в интервале (0,1): (1 − x^2) · 3^x = 1. Промежуточные значения: - x = 0.7: (1 − 0.49) · 3^0.7 ≈ 0.51 · 2.157 ≈ 1.101 > 1 - x = 0.8: (1 − 0.64) · 3^0.8 ≈ 0.36 · 2.406 ≈ 0.866 < 1 Значит корень находится между 0.7 и 0.8. Более точное сечение (приближённо) даёт x* ≈ 0.749 (практически между 0.748 и 0.750). Чтобы три раза точнее, можно продолжать бинкстракцию или применить Newton, но для школьной задачи достаточно приблизить до третьего знака. 5) Итоговый ответ Решение неравенства x^2 · 3^x − 3^x + 1 ≤ 0 есть на отрезке 0 ≤ x ≤ x*, где x* ≈ 0.749. Проверка примерами: - при x = 0 левая часть равна 0 (равенство выполняется); - при x = 0.5 левая часть примерно −0.299 (≤ 0); - при x ≈ 0.75 левая часть близка к 0; - при x = 1 левая часть равна 1 (> 0), нарушение. Таким образом, окончательный ответ: x ∈ [0, ≈0.749].