Через неравенство Маркова или неравенство Чебышёва: Оцените вероятность того, что при 1600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше…
Через неравенство Маркова или неравенство Чебышёва: Оцените вероятность того, что при 1600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900. В ответе запишите сумму числителя и знаменателя несократимой неправильной дроби.
Цель: понять и посчитать через неравенство Чебышева.
Задача: пусть X — число выпадений 6 за 1600 независимых бросков игральной кости. Тогда X имеет биномиальное распределение X ~ Binomial(n=1600, p=1/6).
- Математическое ожидание: μ = E[X] = np = 1600 · (1/6) = 800/3.
- Дисперсия: σ^2 = Var(X) = np(1−p) = 1600 · (1/6) · (5/6) = 2000/9.
Нам нужно оценить P(X ≥ 900). Так как 900 > μ, применим одностороннее неравенство Чебышёва: P(X ≥ 900) ≤ P(|X − μ| ≥ 900 − μ) ≤ σ^2 / (900 − μ)^2.
Вычисления:
- 900 − μ = 900 − 800/3 = 1900/3.
- (900 − μ)^2 = (1900/3)^2 = 3610000/9.
- Следовательно, P(X ≥ 900) ≤ (2000/9) / (3610000/9) = 2000/3610000 = 1/1805.
Итак, через неравенство Чебышёва получаем: P(X ≥ 900) ≤ 1/1805.
Ответ в виде несократимой дроби: 1/1805. Сумма числителя и знаменателя несократимой дроби = 1 + 1805 = 1806.
Примечание: можно было также привести неравенство Маркова, получив более слабую оценку P(X ≥ 900) ≤ E[X]/900 = (800/3)/900 = 8/27, но задача просит привести через одно из неравенств; здесь Чебышёва даёт более строгую оценку.
