Учащиеся школы должны выбрать себе дополнительные занятия на год. Кажды из них выбрал как минимум один предмет из предложенных: биологии, музыки и шахмат. Известно, что 150 школьников выбрали биологию, 130 учеников - музыку и 100 - шахматы, но каждый учащийся мог выбрать и несколько предметов. Ответьте на вопросы: 1. Какое минимальное количество учащихся могло быть в школе? 2. Какое максимальное количество учащихся могло быть в школе? 3. Считайте, что одновременно биологию и музыку выбрали 85 учащихся. Сколько школьников выбрало ровно один из этих двух предметов? 4. Считайте, что ни один школьник не выбрал одновременно биологию и шахматы, одновременно биологию и выбрали 60 человек, а всего в школе 250 учащихся, Сколько школьников выбрало и шахматы, и музыку? музыку 5. Считайте, что в ситуации из пункта 4 на кружки разрешили записываться учащимся других школ. Какое минимальное дополнительное количество школьников должно записаться на предложенные предметы, чтобы количество людей, посещающих только музыку, стало равняться количеству людей, не посещающих её? В ответе запишите пять целых чисел, каждое число - в отдельной строке. Если вы не можете дать ответ на какой-то вопрос, запишите в ответе любое число.

Вот подробные решения задач по каждому пункту. Исходные данные (для всех вопросов): - Биология (B) = 150 - Музыка (M) = 130 - Шахматы (C) = 100 - Каждый учащийся выбирал как минимум один предмет 1) Минимальное возможное количество учащихся в школе - По неравенству |U| ≥ max(|B|, |M|, |C|) = max(150, 130, 100) = 150. - Пример достижимого минимума: все 150 учащихся выбрали биологию; из них 130 выбрали музыку и 100 выбрали шахматы. Тогда общее множество учеников не должно превышать 150. Ответ: 150 2) Максимальное возможное количество учащихся в школе - Чтобы максимизировать число учащихся, перекрытия должны быть минимальны. Самый простой случай — множества биология, музыка и шахматы парно не пересекаются. - Тогда общее число учащихся равно сумме по предметам: 150 + 130 + 100 = 380. Ответ: 380 3) Сколько школьников выбрали ровно один из двух предметов, если B ∩ M = 85 - Количество учащихся, выбирающих ровно один из B и M: |B Δ M| = |B| + |M| − 2|B ∩ M| = 150 + 130 − 2·85 = 280 − 170 = 110. Ответ: 110 4) Ни один учащийся не выбирал B и C одновременно; B ∩ M = 60; всего учащихся 250. Найдите |M ∩ C| - По заданию B ∩ C = 0, значит B ∩ M ∩ C = 0. - По формуле объединения: |U| = |B| + |M| + |C| − |B ∩ M| − |B ∩ C| − |M ∩ C| + |B ∩ M ∩ C|. 250 = 150 + 130 + 100 − 60 − 0 − |M ∩ C| + 0. 250 = 320 − |M ∩ C| ⇒ |M ∩ C| = 70. Ответ: 70 5) В ситуации пункта 4 разрешают записываться учащимся других школ. Найдите минимальное доп. число школьников, чтобы число посещающих только музыку стало равно числу не посещающих её - В пункте 4 распределение у нас таково: Только B: 90 Только M: 0 Только C: 30 B ∩ M: 60 B ∩ C: 0 M ∩ C: 70 Все вместе: 0 Всего учеников: 250 Число, не посещающих музыку = U − M = 250 − 130 = 120. - Пусть добавленные учащиеся разделены на категории по тем же видам пересечения (сумма новых чисел = x). Пусть b' — новые ONLY M, а остальные новые категории не повлияют на минимальность (лучше их не использовать, чтобы минимизировать x). - Чтобы добиться равенства только музыке и не посещающих её, достаточно увеличить ONLY M до 120, не изменяя общее число не посещающих музыку, поскольку при добавлении учеников только в музыку NotMusic не изменяется, а Only M увеличивается на столько же. - Следовательно минимальное x = 120 (добавить 120 учащихся, которые будут только музыкой). Ответ: 120 Итоговые ответы по пунктам (каждый на новой строке): 150 380 110 70 120