В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите плоскость , параллельную плоскости A1BD и проходящую через три вершины куба.

Ответ: плоскость, проходящая через вершины C, B1 и D1, и параллельная плоскости A1BD.

Пошаговое решение:

• В кубе ABCDA1B1C1D1 примем стандартное расположение вершин: нижняя грань ABCD, верхняя A1B1C1D1.
• Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки B, D и A1.
  • Расположим куб в координатной системе: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1).
  • Векторы BD = D − B = (−1,1,0) и A1D = A1 − D = (0,−1,1).
  • Нормаль к плоскости A1BD: n = BD × A1D = (−1,−1,−1).
  • Плоскость через D с нормалью n имеет вид x + y + z = 1. Эту же плоскость мы и получаем для A1BD.
• Плоскость параллельна A1BD тогда, когда имеет ту же нормаль, то есть имеет вид x + y + z = c.
• Среди вершин куба ищем те, сумма координат которых равна c:
  • Суммы вершин: A(0), B(1), C(2), D(1), A1(1), B1(2), C1(3), D1(2).
  • Сумма 2 соответствует вершинам C, B1, D1.
• Значит, искомая плоскость параллельна A1BD и проходит через три вершины: C, B1, D1. Её уравнение x + y + z = 2.
• Название плоскости: плоскость CB1D1 (или плоскость через вершины C, B1 и D1).

Итог: плоскость CB1D1, параллельная A1BD, задаётся уравнением x + y + z = 2.