реши задачу на фото

Понимаем задачу: в треугольнике ABC есть AC = BC, AB = 20, высота AH к стороне BC равна 8. Нужно найти sin угла BAC.

Шаг 1. координатное задание

• Поместим A на (0,0), B на (20,0) (то есть AB = 20).
• Так как AC = BC, точка C лежит на перпендикуляре к AB через середину AB. Значит C = (10, h) для некоторого h > 0.

Шаг 2. выразим AH через h

• AH — расстояние от точки A к прямой BC.
• Векторы: BA = A − B = (−20, 0), BC = C − B = (−10, h).
• Расстояние от точки до прямой: AH = |BA × BC| / |BC|. Здесь BA × BC = |−20·h| = 20h, а |BC| = sqrt(100 + h^2).
• Получаем: AH = 20h / sqrt(100 + h^2) = 8.
• Развязка: 20h = 8 sqrt(100 + h^2) → 5h = 2 sqrt(100 + h^2) → 25h^2 = 4(100 + h^2) → 21h^2 = 400 → h^2 = 400/21, значит h = 20/√21.

Шаг 3. sin угла BAC

• Угол BAC — угол между векторами AB = (20,0) и AC = (10, h).
• sin угол между двумя векторами: sin ∠BAC = |AB × AC| / (|AB||AC|).
• Здесь AB × AC = |20·h| = 20h, |AB| = 20, |AC| = sqrt(10^2 + h^2) = sqrt(100 + h^2).
• Тогда sin ∠BAC = h / sqrt(100 + h^2).
• Подставляем h^2 = 400/21: sqrt(100 + h^2) = sqrt(100 + 400/21) = sqrt(2500/21) = 50/√21, а h = 20/√21.
• Значит sin ∠BAC = (20/√21) / (50/√21) = 2/5.

Ответ: синус угла BAC равен 2/5 (0.4).