В треугольнике АВС АВ = 10, ВС = 3V2, СМ - медиана. Найдите площадь треугольника АВС, если <MCB = 45

Дано:

• AB = 10, BC = 3√2
• M — середина AB, значит AM = MB = AB/2 = 5
• CM — медиана к стороне AB
• ∠MCB = 45°

1. Найдём CM с помощью косинусной теоремы в треугольнике CMB. MB^2 = CM^2 + BC^2 − 2·CM·BC·cos∠MCB

5^2 = CM^2 + (3√2)^2 − 2·CM·(3√2)·cos45° 25 = CM^2 + 18 − 2·CM·3√2·(√2/2) 25 = CM^2 + 18 − 6·CM

CM^2 − 6·CM − 7 = 0 CM = [6 ± √(36 + 28)]/2 = [6 ± 8]/2 ⇒ CM = 7 (отрицательное решение отбрасываем)

Итак, CM = 7.

2. Найдём площадь треугольника CMB двумя сторонами и включённым углом. S_CMB = (1/2)·CM·BC·sin∠MCB = (1/2)·7·(3√2)·sin45° sin45° = √2/2, поэтому S_CMB = (1/2)·7·3√2·(√2/2) = (1/2)·21·2/2 = 10.5

3. Пусть h — высота треугольника ABC к основанию AB (это же высота к отрезку MB, поскольку MB лежит на AB). S_CMB = (1/2)·MB·h ⇒ 10.5 = (1/2)·5·h ⇒ h = 21/5 = 4.2

4. Площадь треугольника ABC: S_ABC = (1/2)·AB·h = (1/2)·10·(21/5) = 5·(21/5) = 21

Ответ: площадь треугольника ABC равна 21 квадратных единиц.