Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию в отношении 7 : 5 , считая от вершины, а боковая сторона равна 63 , 7 см.

Решение (детальное разъяснение) Дано равнобедренный треугольник ABC с AB = AC = L = 63,7 см и основание BC = b. Высота AH к основанию является медианой и биссектрисой угла A. Центр вписанной окружности I лежит на AH и делит AH в отношении AI : IH = 7 : 5 (считая от вершины A). 1) Введём переменную: AI = 7t, IH = 5t. Тогда высота AH = AI + IH = 12t и радиус вписанной окружности r = расстояние от I до стороны BC = IH = 5t. 2) Связь AI и r через угол A: AI = r / sin(A/2). Это следует из того, что треугольник AIE, где IE ⟂ AB и IE = r, имеет угол при A равный A/2, поэтому sin(A/2) = IE/AI = r/AI. Отсюда sin(A/2) = r / AI = (5t) / (7t) = 5/7. 3) Связь основания b с L и углом A/2: в равнобедренном треугольнике высота AH делит основание пополам: b/2 является противолежащим к углу A/2 в triangle с гипотенузой L. Следовательно sin(A/2) = (b/2) / L ⇒ b = 2L sin(A/2). Подставляем найденное sin(A/2) = 5/7 и L = 63,7 см: b = 2 · 63,7 · (5/7) = (2 · 63,7) · (5/7) = 127,4 · (5/7) = 637/7 = 91 см. Ответ: основание треугольника равно 91 см.