начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости три точки a b и c отложите от точек a b и c векторы равные а
Задача: начертить ненулевой вектор a и отметить на плоскости три точки A, B и C, от которых отложить векторы, равные a (то есть построить A′, B′ и C′ такие, что AA′ = BB′ = CC′ = a и AA′ ∥ a, BB′ ∥ a, CC′ ∥ a).
Пояснение на уровне 9 класса
- Вектор a задаёт направление и длину отрезка. От каждого заданного пункта можно провести отрезок того же направления и той же длины.
- Это эквивалентно переносу (переходу) всей плоскости на вектор a: точка A переходит в A′ = A + a, и т.д. Если вы работаете с координатами, то A′(x_A + p, y_A + q), где a = (p, q).
Пошаговое решение и инструкция по построению
- Вводим вектор a
- Пусть вектор a ненулевой (его направление и длина заданы). Обозначим его графически как отрезок DE с стрелкой от D к E, либо как произвольную прямую, в направлении которой мы будем копировать вектор.
- Важно: направление от D к E задаёт направление вектора a, длина DE — модуль |a|.
- Обозначаем три точки на плоскости
- Выберите три произвольные точки A, B, C (они могут быть любыми, не совпадающими и не лежащими на одной прямой обязательно не обязательно). Эти точки будут starting points, от которых мы отложим копии вектора a.
- Построение точек A′, B′, C′, таких чтобы AA′ = BB′ = CC′ = a Для каждого из трёх исходных пунктов (A, B, C) повторяем одну и ту же операцию копирования вектора a.
Шаг для точки A: a) Проведите через A прямую l, которая параллельна направлению вектора a (то есть параллельна прямой DE, если a задан через DE). b) На этой прямой возьмите отрезок длины |a| от точки A в направлении, совпадающем с направлением a. Как это сделать на практике:
- Возьмите центры для копирования длины: откладываете вдоль прямой l отрезок AA′ такой же длины, как DE.
- Используйте циркуль: возьмите меру |DE| и перенесите её вдоль линии l от точки A к точке A′, так чтобы AA′ = |DE| и AA′ ∥ DE. c) Точка A′ — конец отрезка AA′. Тогда AA′ = a по величине и направлению.
Аналогично для точки B: a) Проводим через B прямую b, параллельную вектору a. b) Отметим на этой линии точку B′ так, чтобы BB′ = |a| и BB′ параллеленa. c) Точка B′ — конец отрезка BB′.
Аналогично для точки C: a) Проводим через C прямую c, параллельную вектору a. b) Отмечаем на ней точку C′ так, чтобы CC′ = |a| и CC′ параллеленa. c) Точка C′ — конец отрезка CC′.
- Что получилось и как это понять
- Отрезки AA′, BB′, CC′ имеют одинаковую длину и параллельны вектору a.
- Вектор AA′ по направлению совпадает с a, то есть AA′ ∥ a и AA′ = a по величине.
- Точка A′ — это изображение точки A после параллельного переноса всей плоскости на вектор a; аналогично для B′ и C′.
- Геометрически полученная конфигурация показывает перенос трёх точек на одно и то же векторное смещение.
Дополнительные заметки (для закрепления материала)
- Если вам удобнее работать с координатами, можно записать: если a = (p, q), то A′ имеет координаты (x_A + p, y_A + q), B′ — (x_B + p, y_B + q), C′ — (x_C + p, y_C + q).
- Свойство переноса по вектору a сохраняет фигуры: отрезки AB и A′B′ параллельны и равны по длине, угол между ними сохраняется. Это следствие того, что перенос является движением по плоскости (изометрией).
К примеру, если вы заранее задали:
- Вектор a как отрезок DE (D→E),
- Точки A, B, C в каких-либо местах, то после выполнения описанных шагов вы получите точки A′, B′, C′ и отрезки AA′, BB′, CC′ равной длины |DE| и параллельные DE.
Если хотите, могу привести конкретный числовой пример с заданными координатами точек и вектора a, чтобы вычислить координаты A′, B′, C′. Также могу предложить схему или набросок шагов на чертеже.
