построите прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями

Ниже подробные пошаговые инструкции по построению прямоугольника в каждом из трёх случаев. Предмет: Геометрия, класс 8, цель: понять.

а) по двум смежным сторонам (по сторонам a и b)

Цель: построить прямоугольник, где одна смежная сторона имеет длину a, другая — длину b.

Шаги:

1. Постройте отрезок AB длиной a. Это одна сторона прямоугольника.
2. Воплотите через точку A перпендикуляр к AB и на этом перпендикуляре отметьте точку D так, чтобы AD = b.
3. Проведите через точку B линию, параллельную AD. Проведите через точку D линию, параллельную AB. Их пересечение обозначьте как C.
4. Четырёхугольник A-B-C-D — это искомый прямоугольник: AB — одна сторона, BC — другая (перпендикуляр AB), AD — другая сторона, CD — третья сторона параллельна AB.

Замечание: для существования решения необходимо, чтобы стороны a и b удовлетворяли геометрическим возможностям (прямоугольник с такими смежными сторонами существует всегда в этом виде построения).

б) по стороне и диагонали (по стороне a и диагонали d)

Цель: прямоугольник, в котором одна сторона имеет длину a, диагональ — длину d.

Шаги:

1. Постройте основание AB длиной a. Это выбранная сторона прямоугольника.
2. Через точку B проведите линию l, перпендикулярную AB (это направление стороны BC).
3. Проведите вокруг точки A окружность с центром A и радиусом d.
4. Пересечение окружности с линией l дало бы вам точку C. Выберите точку C над AB (слегка выше рабочей области), чтобы диагональ AC имеет длину d.
5. Через A проведите прямую, параллельную BC, через C — прямую, параллельную AB. Их пересечение обозначьте как D.
6. Соедините A-D и D-C, а также B-C. Получится прямоугольник ABCD, где AB — сторона длиной a, AC — диагональ длиной d.

Замечания:

• В случае существования решения диагональ AC действительно должна иметь длину d. Убедитесь, что d > a (иначе прямоугольник невозможен).
• При параллельном копировании используйте стандартные приемы: копирование угла или перенос направления через заданную точку.

в) по диагонали и углу между диагоналями (по диагонали d и углу θ между диагоналями)

Цель: прямоугольник, диагонали имеют общую длину d и угол между ними равен θ.

Логика: диагонали прямоугольника AC и BD равны и пересекаются в центре O под углом θ. Если на плоскости через точку O выбрать две прямые, образующие угол θ, разместить на одной прямой концами A и C на расстоянии d/2 от O, а на другой — концами B и D на расстоянии d/2 от O, то получатся вершины прямоугольника в порядке A-B-C-D. Это прямоугольник с диагодалями AC и BD.

Шаги:

1. В точке O проведите две линии l1 и l2, которые пересекаются под углом θ (если θ дан как острый угол между диагоналями, используйте именно его).
2. На линии l1 возьмите отрезок OA = OC = d/2 от O в противоположных направлениях и отметьте концы A и C.
3. На линии l2 возьмите OB = OD = d/2 от O в противоположных направлениях и отметьте концы B и D.
4. Соедините по очереди вершины A-B-C-D (A к B, B к C, C к D, D к A). То, что AB ⟂ BC, доказано геометрически и полученный четырехугольник окажется прямоугольником. Также можно заметить, чтоа стороны a и b будут удовлетворять a^2 + b^2 = d^2 и угол между диагоналями θ удовлетворяет cos θ = (b^2 − a^2)/d^2, что согласуется с положением точек на l1 и l2.

Замечание по числам: из диагонали d и угла θ между диагоналями можно получить стороны через a = d · sin(θ/2), b = d · cos(θ/2) (при условии, что a и b соответствуют сторонам прямоугольника). Это полезно для проверки полученного решения.

Дополнительные пояснения для ученика:

• В случае (а) достаточно помнить: две смежные стороны прямоугольника образуют прямой угол. Нужны только длины a и b.
• В случае (б) диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного двумя смежными сторонами. Поэтому можно “построить” оставшиеся вершины, используя параллельность сторонам.
• В случае (в) мысль состоит в том, что можно выбрать центр диагоналей и «распаковать» диагонали вдоль двух лучей, образующих заданный угол; это автоматически даст прямоугольник, потому что получим параллелограмм с равными диагоналями, пересекающимися под заданным углом, что и требует прямоугольник.

Если нужно, могу привести конкретные числовые примеры с выбранными числами a, b, d или θ и прописать все чертежи в виде чертежной инструкции.