Сократите дробь

Задача: Сократить дроби. Для каждого примера распишу шаги и дам окончательный результат.

1. (2m^2 − 72n^2) / (4m + 24n)^2

• Раскроем числитель: 2m^2 − 72n^2 = 2(m^2 − 36n^2) = 2(m − 6n)(m + 6n).
• Раскроем знаменатель: (4m + 24n)^2 = [4(m + 6n)]^2 = 16(m + 6n)^2.
• Вычтем общий множитель: [2(m − 6n)(m + 6n)] / [16(m + 6n)^2] = (m − 6n) / [8(m + 6n)].

Ответ: (m − 6n) / [8(m + 6n)]

Условия допуска: 4m + 24n ≠ 0, то есть m + 6n ≠ 0.

2. (a^3 − 8) / (ab − a − 2b + 2)

• Числитель — разность кубов: a^3 − 8 = (a − 2)(a^2 + 2a + 4).
• Знаменатель можно разложить по группам: ab − a − 2b + 2 = a(b − 1) − 2(b − 1) = (a − 2)(b − 1).
• Сократим общего множителя: [(a − 2)(a^2 + 2a + 4)] / [(a − 2)(b − 1)] = (a^2 + 2a + 4) / (b − 1).

Ответ: (a^2 + 2a + 4) / (b − 1)

Условия допуска: a ≠ 2 и b ≠ 1 (чтобы не было 0 в знаменателе до сокращения).

3. (a^3 + 2a^2b + ab^2) / (a^3 − ab^2)

• Числитель вынесем общий множитель a: a(a^2 + 2ab + b^2) = a(a + b)^2.
• Знаменатель тоже вынесем a: a(a^2 − b^2) = a(a − b)(a + b).
• Сократим a и (a + b): [a(a + b)^2] / [a(a − b)(a + b)] = (a + b) / (a − b).

Ответ: (a + b) / (a − b)

Условия допуска: в исходной дроби не выполнялись бы a = 0, a = b, или a = −b (это делало бы знаменатель равным нулю). После сокращения остаётся требование a ≠ b для действительного делителя.