f (x) = x³ - 10

Задача дана как f(x) = x^3 - 10. Ниже подробное разбор и пошаговые объяснения, чтобы понять свойства этой функции.

1. Общие сведения

• Функция: f(x) = x^3 - 10.
• Что это значит: к графику корня куба x^3 мы просто прибавляем константу -10, т.е. сдвигаем график кубической функции вниз на 10 единиц.

2. Область определения и множество значений

• Область определения (D): все вещественные числа, потому что кубическая функция определена для любого x.
• Множество значений (R): все вещественные числа. Поскольку x^3 принимает любые значения на реальной оси, выражение x^3 - 10 также покрывает всю ось y.

3. Пересечения с осью координат

• y-пересечение: при x = 0 имеем f(0) = 0^3 - 10 = -10. Значит точка пересечения с осью y: (0, -10).
• x-пересечение: ищем корни уравнения x^3 - 10 = 0 → x^3 = 10 → x = ∛10 ≈ 2,154. Значит точка пересечения с осью x: (∛10, 0). Единственный реальный корень у кубического уравнения здесь.

4. Монотонность и наличие экстремумов

• Функция возрастает во всем диапазоне, т.к. разность между значениями при двух точках можно записать как: f(x2) - f(x1) = (x2^3 - 10) - (x1^3 - 10) = x2^3 - x1^3 = (x2 - x1)(x2^2 + x1 x2 + x1^2).
• При x2 > x1 первый множитель положителен. Второй множитель x2^2 + x1 x2 + x1^2 всегда положителен для любых неравных x1 и x2 (и даже для любых x1, x2, не равных нулю одновременно), следовательно f(x2) > f(x1). Значит функция строго возрастает на всей оси.
• Нет локальных экстремумов: монотонность исключает локальные максимумы/минимумы.

5. Производные и характер графика (пояснение для школьного уровня)

• Первая производная: f'(x) = 3x^2. Она равна нулю только в x = 0 и положительна для всех x ≠ 0. Это подтверждает, что функция возрастает повсеместно.
• Вторая производная: f''(x) = 6x. Точка перегиба находится там, где f''(x) = 0, т.е. при x = 0. Следовательно, график имеет точку перегиба в x = 0.
• Значение в точке перегиба: f(0) = -10. Таким образом, точка перегиба графика: (0, -10).

6. Примеры значений

• f(1) = 1^3 - 10 = -9
• f(-1) = (-1)^3 - 10 = -11
• f(2) = 8 - 10 = -2
• f(-2) = -8 - 10 = -18
• При больших x положительных f(x) становится очень большим; при больших отрицательных x f(x) становится очень отрицательным.

7. Инверсия (обратная функция)

• Чтобы найти обратную функцию, решим y = f(x) = x^3 - 10 для x: y = x^3 - 10 ⇒ x^3 = y + 10 ⇒ x = ∛(y + 10).
• Значит обратная функция: f^{-1}(y) = ∛(y + 10).
• Область определения обратной функции: все вещественные y (как и у исходной функции).

8. График в целом (передача образа словами)

• График похож на обычную кубическую кривую (S-образную), но сдвинут вниз на 10 единиц. Он проходит через точку (0, -10) и пересекает ось x в точке примерно (2.154, 0). График строго возрастает по всей оси и имеет точку перегиба в (0, -10).

9. Краткое резюме

• Область D = R; множество значений R.
• y-пересечение: (0, -10). x-пересечение: (∛10, 0).
• Функция строго возрастает на всей линейной оси; локальных экстремумов нет; точка перегиба в (0, -10).
• Инверсия: f^{-1}(y) = ∛(y + 10).

Если хочешь, могу привести дополнительные примеры вычислений (например, график набросать набросок на бумаге или построить таблицу значения в диапазоне x) или показать ещё раз решение в виде компактной шпаргалки для контроля понимания.