3√2

Задача: 3√2

Кратко: это произведение числа 3 на квадратный корень из 2. В обычной форме радикал считается упрощённым, потому что 2 — квадратно-приведённое число (square-free).

Подробное объяснение (для 11 класса, цель — понять)

1. Упростимость и что это значит

• 3√2 уже находится в простой радикальной форме: корень из 2 не можно вынести целиком в виде целого множителя, потому что 2 не имеет в себе квадрата, извлекаемого за пределы корня.
• Можно привести к эквивалентной форме √18, потому что √a · √b = √(ab). Тогда: 3√2 = √9 · √2 = √(9·2) = √18.

2. Как записать по-разному

• Радикальная форма (самая простая): 3√2.
• Эквивалентная форма через один корень: √18.
• Десятичное приближённое значение: √2 ≈ 1.41421356, следовательно 3√2 ≈ 3 × 1.41421356 ≈ 4.24264069 ≈ 4.2426 (до четырёх знаков после запятой).

3. Примеры операций с этим выражением

• Сложение со своим подобным радикалом: если есть, например, 5√2 + 7√2, результат 12√2.
• Умножение на другой корень: (3√2) · √2 = 3√(2·2) = 3√4 = 3·2 = 6.
• Возведение в степень: (3√2)^2 = 9 · 2 = 18.
• Преобразование обратно к радикальному виду: √18 обратно равно 3√2, т.е. это взаимно однозначные представления.

4. Основные правила, которые полезно помнить

• √a · √b = √(ab) при a, b ≥ 0.
• Любой множитель, который является квадратом числа, может выноситься за знак корня: √(k^2·m) = k√m, если k≥0.
• 2 в корне √2 — квадратно-приведённое число, значит радикал без упрощения.

Итог

• 3√2 — это уже упрощённая форма.
• Эквивалентно √18.
• Приблизительно равно 4.2426. Если хочешь, могу привести ещё примеры задач с подобными радикалами или показать, как работать с ними в подстановках и при приведении к числовым формулам.