Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся как 2:3. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и равна 20 см. Найдите радиусы окружностей.

Решение (пояснения по шагам) 1) Обозначим радиусы: меньшей окружности r1 и большей r2. По условию отношение радиусов 2:3, значит r1 = 2x, r2 = 3x, где x > 0. 2) Хорда большей окружности касается меньшей. Для концентрических окружностей поверхность хорды, которая касается внутренней окружности, находится на расстоянии d от центра, равном радиусу меньшей: d = r1 = 2x. 3) Длина хорды в окружности радиуса R равна L = 2√(R^2 − d^2). Здесь R = r2 = 3x, d = 2x. Тогда L = 2√((3x)^2 − (2x)^2) = 2√(9x^2 − 4x^2) = 2√(5x^2) = 2x√5. 4) По условию L = 20 см. Значит 2x√5 = 20 → x = 20 / (2√5) = 10/√5 = 2√5. 5) Радиусы окружностей: - меньшая: r1 = 2x = 2·(2√5) = 4√5 см - большая: r2 = 3x = 3·(2√5) = 6√5 см Проверка (опционально): длина хорды L = 2√(r2^2 − r1^2) = 2√((6√5)^2 − (4√5)^2) = 2√(180 − 80) = 2√100 = 20 см, верно. Ответ: - меньшая окружность: радиус 4√5 см (~8.94 см) - большая окружность: радиус 6√5 см (~13.42 см)