ab(b-a) <=(меньше или равно) a³-b³, если a >=(больше или равно) b

Задача: доказать, что для действительных a и b при a ≥ b выполняется ab(b−a) ≤ a^3 − b^3.

Пошаговое решение:

1. Раскроем разность кубов: a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2).
2. Левая часть нашего выражения: ab(b − a) = −ab(a − b). Тогда неравенство ab(b − a) ≤ a^3 − b^3 эквивалентно −ab(a − b) ≤ (a − b)(a^2 + ab + b^2).
3. В условии задано a − b ≥ 0 (поскольку a ≥ b). Поэтому можно вынести (a − b) за скобки: −ab ≤ a^2 + ab + b^2.
4. Перепишем правую часть и перенесём все в одну сторону: 0 ≤ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2. Это неотрицательно для любых реальных a и b, следовательно неравенство верно.
5. Примечание об равенстве: равенство достигается тогда, когда (a − b)(a + b)^2 = 0, то есть при a = b или при a = −b. При условии a ≥ b это означает либо a = b, либо a ≥ 0 и b = −a.

Итого: для любых действительных a, b с a ≥ b выполняется ab(b − a) ≤ a^3 − b^3.