В ромбе авсд векторы ас и вд взяты за базисные. Найти координаты векторов ав вс сд да в этом базисе

Задача: В ромбе ABCD диагонали AC и BD взяты за базисные векторы. Найти координаты векторов AB, BC, CD, DA в этом базисе.

Пусть базисные w1 = AC и w2 = BD. Обозначим:

• AB = u
• BC = v

Из девиза параллелограмма AB + BC = AC дают: u + v = w1

Из BD = BC − AB дают: v − u = w2

Решим систему относительно u и v:

• Добавим: (u + v) + (v − u) = w1 + w2 ⇒ 2v = w1 + w2 ⇒ v = (w1 + w2)/2
• Вычтем: (u + v) − (v − u) = w1 − w2 ⇒ 2u = w1 − w2 ⇒ u = (w1 − w2)/2

Таким образом:

• AB = u = (1/2) w1 − (1/2) w2
• BC = v = (1/2) w1 + (1/2) w2
• CD = −AB = −(1/2) w1 + (1/2) w2
• DA = −BC = −(1/2) w1 − (1/2) w2

Координаты в базисе {AC, BD}:

• AB: (1/2, −1/2)
• BC: (1/2, 1/2)
• CD: (−1/2, 1/2)
• DA: (−1/2, −1/2)

Пояснение: независимо от конкретных длин сторон ромба, эти коэффициенты справедливы для любого ромба, если базисом взяты диагонали AC и BD.